Построить график функции (451-452). 1) y = -x⁴ + 8x² - 16; 2) y = x⁴ - 2x² + 2; 3) y = 1/4 x⁴ - 1/24 x⁶; 4) y = 6x⁴ - 4x⁵.

Решение:

Для построения графиков будем анализировать каждую функцию отдельно, находя её критические точки, промежутки возрастания/убывания и точки экстремума.

1) \( y = -x^4 + 8x^2 - 16 \)

Это четная функция, так как \( y(-x) = -(-x)^4 + 8(-x)^2 - 16 = -x^4 + 8x^2 - 16 = y(x) \). График симметричен относительно оси Oy.

1. Находим первую производную: \( y' = -4x^3 + 16x \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( -4x^3 + 16x = 0 \implies -4x(x^2 - 4) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -2 \).
3. Определяем знаки производной на интервалах:
• При \( x < -2 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( -2 < x < 0 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
• При \( 0 < x < 2 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 2 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
4. Находим значения функции в критических точках:
• \( y(-2) = -(-2)^4 + 8(-2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0 \) (точка максимума).
• \( y(0) = -(0)^4 + 8(0)^2 - 16 = -16 \) (точка минимума).
• \( y(2) = -(2)^4 + 8(2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0 \) (точка максимума).

2) \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \)

Это четная функция, так как \( y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 2 = x^4 - 2x^2 + 2 = y(x) \). График симметричен относительно оси Oy.

1. Находим первую производную: \( y' = 4x^3 - 4x \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( 4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \).
3. Определяем знаки производной на интервалах:
• При \( x < -1 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
• При \( -1 < x < 0 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 0 < x < 1 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 1 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
4. Находим значения функции в критических точках:
• \( y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \) (точка минимума).
• \( y(0) = (0)^4 - 2(0)^2 + 2 = 2 \) (точка максимума).
• \( y(1) = (1)^4 - 2(1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \) (точка минимума).

3) \( y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6 \)

Это нечетная функция, так как \( y(-x) = \frac{1}{4}(-x)^4 - \frac{1}{24}(-x)^6 = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6 = y(x) \). График симметричен относительно оси Oy.

1. Находим первую производную: \( y' = x^3 - \frac{6}{24}x^5 = x^3 - \frac{1}{4}x^5 \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( x^3 - \frac{1}{4}x^5 = 0 \implies x^3(1 - \frac{1}{4}x^2) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \). \( 1 - \frac{1}{4}x^2 = 0 \implies \frac{1}{4}x^2 = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \) и \( x = -2 \).
3. Определяем знаки производной на интервалах:
• При \( x < -2 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
• При \( -2 < x < 0 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 0 < x < 2 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 2 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
4. Находим значения функции в критических точках:
• \( y(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{1}{24}(-2)^6 = \frac{1}{4}(16) - \frac{1}{24}(64) = 4 - \frac{64}{24} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \) (точка минимума).
• \( y(0) = 0 \) (точка перегиба, не экстремум).
• \( y(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - \frac{1}{24}(2)^6 = \frac{1}{4}(16) - \frac{1}{24}(64) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \) (точка минимума).

4) \( y = 6x^4 - 4x^5 \)

1. Находим первую производную: \( y' = 24x^3 - 20x^4 \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( 24x^3 - 20x^4 = 0 \implies 4x^3(6 - 5x) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( 6 - 5x = 0 \implies x = 6/5 = 1.2 \).
3. Определяем знаки производной на интервалах:
• При \( x < 0 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 0 < x < 1.2 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 1.2 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
4. Находим значения функции в критических точках:
• \( y(0) = 0 \) (точка перегиба, не экстремум).
• \( y(1.2) = 6(1.2)^4 - 4(1.2)^5 = 6(2.0736) - 4(2.48832) = 12.4416 - 9.95328 = 2.48832 \) (точка максимума).