Построить график функции, указать её область определения и множество значений. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение: 1) y = -(x - 2)³ - 1; 2) y = (x + 3)⁴ + 2.

Решение:

1) \( y = -(x - 2)^3 - 1 \)

• Область определения: \( (-\infty; +\infty) \)
• Область значений: \( (-\infty; +\infty) \)
• Монотонность: Функция убывающая на всей области определения.
• Ограниченность: Функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу.
• Наибольшее/наименьшее значение: Наибольшего и наименьшего значения функция не принимает.
• График: График функции \( y = x^3 \), сдвинутый на 2 единицы вправо, отраженный относительно оси Ox и сдвинутый на 1 единицу вниз.

2) \( y = (x + 3)^4 + 2 \)

• Область определения: \( (-\infty; +\infty) \)
• Область значений: \( [2; +\infty) \)
• Монотонность: Функция убывает на \( (-\infty; -3] \) и возрастает на \( [-3; +\infty) \).
• Ограниченность: Функция ограничена снизу значением 2, но не ограничена сверху.
• Наибольшее/наименьшее значение: Наименьшее значение равно 2 (при \( x = -3 \)). Наибольшего значения функция не принимает.
• График: График функции \( y = x^4 \), сдвинутый на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх.

Ответ:

1) Область определения: \( (-\infty; +\infty) \), область значений: \( (-\infty; +\infty) \). Функция убывающая, не ограниченная, наибольшего и наименьшего значения не принимает.

2) Область определения: \( (-\infty; +\infty) \), область значений: \( [2; +\infty) \). Функция убывает на \( (-\infty; -3] \) и возрастает на \( [-3; +\infty) \). Ограничена снизу, наименьшее значение равно 2, наибольшего не принимает.