Построить график функции y = x² + 4x - 5 и указать промежутки ее возрастания и убывания

Решение:

Для построения графика квадратичной функции \( y = x^2 + 4x - 5 \) найдём её вершину и направление ветвей.

1. Направление ветвей: Коэффициент при \( x^2 \) равен \( 1 \) (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины:
• Найдём x-координату вершины по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \): \( x_в = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \).
• Найдём y-координату вершины, подставив \( x_в \) в уравнение функции: \( y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \).
• Вершина параболы находится в точке \( (-2, -9) \).
3. Точки пересечения с осями:
• С осью OY (при \( x = 0 \)): \( y = 0^2 + 4(0) - 5 = -5 \). Точка пересечения: \( (0, -5) \).
• С осью OX (при \( y = 0 \)): \( x^2 + 4x - 5 = 0 \). Решим квадратное уравнение: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \). \( \sqrt{D} = 6 \). \( x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \). Точки пересечения: \( (1, 0) \) и \( (-5, 0) \).
4. Промежутки возрастания и убывания:
• Функция убывает на промежутке \( (-\infty; x_в] \), то есть \( (-\infty; -2] \).
• Функция возрастает на промежутке \( [x_в; +\infty) \), то есть \( [-2; +\infty) \).

Ответ: Функция убывает на промежутке \( (-\infty; -2] \), возрастает на промежутке \( [-2; +\infty) \).