Построить графики с полным оформлением решения (см приложение) 1.y= - x² + 2x + 8 2.y= 2 x²- 12x + 10 3.y= -0,5 x² - 2x 4.y= 1 4 x² + 2x – 5

Задание: Построить графики квадратичных функций.

Функции:

• 1. \( y = -x^2 + 2x + 8 \)
• 2. \( y = 2x^2 - 12x + 10 \)
• 3. \( y = -0.5x^2 - 2x \)
• 4. \( y = \frac{1}{4}x^2 + 2x - 5 \)

Общий подход к построению графиков квадратичных функций (парабол):

1. Определение направления ветвей: Если коэффициент при \(x^2\) (a) положительный, ветви параболы направлены вверх. Если отрицательный — вниз.
2. Нахождение вершины параболы: Координаты вершины \( (x_0, y_0) \) вычисляются по формулам: \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) и \( y_0 = a{x_0}^2 + b{x_0} + c \), где \(a, b, c\) — коэффициенты уравнения \( y = ax^2 + bx + c \).
3. Нахождение точек пересечения с осями:
   • С осью OY: Подставить \( x = 0 \) в уравнение функции.
   • С осью OX: Решить квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) (приравнять \( y = 0 \)).
4. Построение точек: Отметить найденные точки на координатной плоскости.
5. Проведение параболы: Соединить точки плавной кривой, учитывая направление ветвей и положение вершины.

Графики:

• 1. \( y = -x^2 + 2x + 8 \)
  • a = -1 (ветви вниз)
  • \( x_0 = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \)
  • \( y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 \)
  • Вершина: (1, 9)
  • Пересечение с OY: \( x=0 \Rightarrow y=8 \) (0, 8)
  • Пересечение с OX: \( -x^2 + 2x + 8 = 0 \) \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) \( (x-4)(x+2) = 0 \) \( x_1=4, x_2=-2 \) (4, 0), (-2, 0)
• 2. \( y = 2x^2 - 12x + 10 \)
  • a = 2 (ветви вверх)
  • \( x_0 = -\frac{-12}{2(2)} = \frac{12}{4} = 3 \)
  • \( y_0 = 2(3)^2 - 12(3) + 10 = 2(9) - 36 + 10 = 18 - 36 + 10 = -8 \)
  • Вершина: (3, -8)
  • Пересечение с OY: \( x=0 \Rightarrow y=10 \) (0, 10)
  • Пересечение с OX: \( 2x^2 - 12x + 10 = 0 \) \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) \( (x-1)(x-5) = 0 \) \( x_1=1, x_2=5 \) (1, 0), (5, 0)
• 3. \( y = -0.5x^2 - 2x \)
  • a = -0.5 (ветви вниз)
  • \( x_0 = -\frac{-2}{2(-0.5)} = -\frac{-2}{-1} = -2 \)
  • \( y_0 = -0.5(-2)^2 - 2(-2) = -0.5(4) + 4 = -2 + 4 = 2 \)
  • Вершина: (-2, 2)
  • Пересечение с OY: \( x=0 \Rightarrow y=0 \) (0, 0)
  • Пересечение с OX: \( -0.5x^2 - 2x = 0 \) \( -0.5x(x + 4) = 0 \) \( x_1=0, x_2=-4 \) (0, 0), (-4, 0)
• 4. \( y = \frac{1}{4}x^2 + 2x - 5 \)
  • a = 1/4 (ветви вверх)
  • \( x_0 = -\frac{2}{2(1/4)} = -\frac{2}{1/2} = -4 \)
  • \( y_0 = \frac{1}{4}(-4)^2 + 2(-4) - 5 = \frac{1}{4}(16) - 8 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \)
  • Вершина: (-4, -9)
  • Пересечение с OY: \( x=0 \Rightarrow y=-5 \) (0, -5)
  • Пересечение с OX: \( \frac{1}{4}x^2 + 2x - 5 = 0 \) \( x^2 + 8x - 20 = 0 \) \( (x+10)(x-2) = 0 \) \( x_1=-10, x_2=2 \) (-10, 0), (2, 0)

Примечание: Для полного оформления решения, согласно заданию, необходимо построить графики на координатной плоскости, отметив вершины и точки пересечения с осями.