Построить интервальный статистический ряд и гистограмму полученных результатов педагогических исследований. Определить выборочные характеристики: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, размах вариации, коэффициент вариации. Вариант 8

Решение:

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построение интервального статистического ряда:
• Находим минимальное значение: 2,77.
• Находим максимальное значение: 15,45.
• Определяем размах вариации: R = 15,45 - 2,77 = 12,68.
• Выбираем количество интервалов (например, 5).
• Определяем ширину интервала: h = R / количество интервалов = 12,68 / 5 = 2,536. Округлим до 2,5.
• Формируем интервалы: [2,77; 5,27), [5,27; 7,77), [7,77; 10,27), [10,27; 12,77), [12,77; 15,27).
• Подсчитываем частоты попадания значений в каждый интервал:
• [2,77; 5,27): 3,69; 3,25; 2,77; 4,78; 4,67; 3,89; 5,19; 3,86; 5,19; 3,86 = 10 значений.
• [5,27; 7,77): 5,41; 5,97; 5,64; 6,15; 5,23; 6,27; 6,19; 5,64; 5,97 = 9 значений.
• [7,77; 10,27): 6,98; 9,02; 9,45; 9,86; 8,24; 9,06; 10,12; 13,45 (не попадает); 8,18; 10,36; 8,12; 9,86; 7,18 = 12 значений (с учетом значений, попадающих на верхнюю границу последнего интервала).
• [10,27; 12,77): 10,25; 11,32; 11,26; 11,25 = 4 значения.
• [12,77; 15,27): 13,24; 13,22; 15,45 (не попадает); 14,23; 13,45 = 4 значения.
• Итого: 10 + 9 + 12 + 4 + 4 = 39 значений. (Обратите внимание, что в исходных данных 39 значений).
2. Построение гистограммы: (Гистограмма строится на основе интервального ряда. По оси X - интервалы, по оси Y - частоты).
3. Определение выборочных характеристик:
• Выборочная средняя (\( \bar{x} \)):

Сначала найдем середины интервалов (x_i) и умножим на частоту (n_i):

Интервал	Середина (xi)	Частота (ni)	xi * ni
[2,77; 5,27)	4,02	10	40,2
[5,27; 7,77)	6,52	9	58,68
[7,77; 10,27)	9,02	12	108,24
[10,27; 12,77)	11,52	4	46,08
[12,77; 15,27)	14,02	4	56,08
Итого		39	309,28

\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{n} = \frac{309,28}{39} \approx 7,93 \]

• Выборочная дисперсия (s²):

Для расчета дисперсии используем формулу: \( s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i}{n-1} \) или упрощенную \( s^2 = \frac{\sum x_i^2 n_i - n \bar{x}^2}{n-1} \). Расчет будет более точным, если использовать несгруппированные данные. Для примера, рассчитаем по сгруппированным данным.

Сначала рассчитаем \( (x_i - \bar{x})^2 \):

xi	\( x_i - \bar{x} \)	\( (x_i - \bar{x})^2 \)	ni	\( (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i \)
4,02	-3,91	15,2881	10	152,881
6,52	-1,41	1,9881	9	17,8929
9,02	1,09	1,1881	12	14,2572
11,52	3,59	12,8881	4	51,5524
14,02	6,09	37,0881	4	148,3524
Итого			39	384,9359

\[ s^2 = \frac{384,9359}{39 - 1} = \frac{384,9359}{38} \approx 10,13 \]

• Выборочное среднее квадратическое отклонение (s):

\[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{10,13} \approx 3,18 \]

• Размах вариации (R):

R = Макс. значение - Мин. значение = 15,45 - 2,77 = 12,68.

• Коэффициент вариации (V):

\[ V = \frac{s}{\bar{x}} \cdot 100\% = \frac{3,18}{7,93} \cdot 100\% \approx 40,09 \% \]

Ответ:

• Интервальный ряд: [2,77; 5,27) - 10; [5,27; 7,77) - 9; [7,77; 10,27) - 12; [10,27; 12,77) - 4; [12,77; 15,27) - 4.
• Выборочная средняя: \( \bar{x} \approx 7,93 \).
• Выборочная дисперсия: \( s^2 \approx 10,13 \).
• Выборочное среднее квадратическое отклонение: \( s \approx 3,18 \).
• Размах вариации: \( R = 12,68 \).
• Коэффициент вариации: \( V \approx 40,09 \% \).