Построить схематично графики функций а) y = √x, б) y = x⁷, в) y = x⁻⁵ и описать все свойства: 1) D(y); 2) E(y); 3) является ли функция ограниченной и где; 4) промежутки возрастания и убывания; 5) наибольшее и наименьшее значения функции; 6) чётная или нечётная функция с объяснением. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [−1; 2].

а) \(y=\sqrt{x}\)

График начинается в точке \((0;0)\) и проходит, например, через точки \((1;1)\), \((4;2)\), \((9;3)\).

1. Область определения: \(D(y)=[0;+\infty)\), поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
2. Область значений: \(E(y)=[0;+\infty)\).
3. Функция ограничена снизу: \(y\geq0\); сверху не ограничена.
4. Возрастает на \([0;+\infty)\).
5. Наименьшее значение — \(0\) при \(x=0\); наибольшего значения нет.
6. Функция не является ни чётной, ни нечётной: её область определения не симметрична относительно нуля.

б) \(y=x^7\)

График проходит через точки \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\) и имеет S-образную форму.

1. Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\).
2. Область значений: \(E(y)=\mathbb{R}\).
3. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
4. Возрастает на всей числовой прямой.
5. Наибольшего и наименьшего значений нет.
6. Функция нечётная, так как \((-x)^7=-x^7\).

в) \(y=x^{-5}=\dfrac{1}{x^5}\)

График имеет две ветви: в первой и третьей четвертях; при \(x=0\) функция не определена.

1. Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
2. Область значений: \(E(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
3. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
4. Убывает на каждом из промежутков \((−\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).
5. Наибольшего и наименьшего значений нет.
6. Функция нечётная, так как \((-x)^{-5}=-x^{-5}\).

На отрезке [−1; 2]: рассматриваем каждую из перечисленных функций на той части отрезка, где она определена.

• Для \(y=\sqrt{x}\) область определения на этом отрезке — \([0;2]\). Функция возрастает, поэтому наименьшее значение равно \(0\) при \(x=0\), а наибольшее — \(\sqrt{2}\) при \(x=2\).
• Для \(y=x^7\) функция возрастает на всём отрезке: наименьшее значение \(−1\) при \(x=−1\), наибольшее — \(128\) при \(x=2\).
• Для \(y=x^{-5}\) точка \(0\) не входит в область определения. При приближении к нулю справа функция неограниченно возрастает, а слева неограниченно убывает, поэтому на допустимой части отрезка наибольшего и наименьшего значений нет.

Ответ: \(\sqrt{x}\): минимум 0, максимум \(\sqrt{2}\); \(x^7\): минимум −1, максимум 128; \(x^{-5}\): ни минимума, ни максимума нет.