Построй фигуру ABCD по координатам её вершин: A(−8; 6), В(6; 5), C(1; −3), D(−7; 1). Найди координаты точки пересечения отрезков AC и BD. Ответ: точка пересечения ( ).

Решение:

Чтобы найти координаты точки пересечения отрезков AC и BD, найдём уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки, и решим систему уравнений.

1. Уравнение прямой AC:

Координаты точек A(−8; 6) и C(1; −3).

Уравнение прямой имеет вид \( y - y_1 = m(x - x_1) \), где \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).

Найдем угловой коэффициент \( m_{AC} \):

\[ m_{AC} = \frac{-3 - 6}{1 - (-8)} = \frac{-9}{1 + 8} = \frac{-9}{9} = -1 \]

Уравнение прямой AC:

\[ y - 6 = -1(x - (-8)) \]

\[ y - 6 = -1(x + 8) \]

\[ y - 6 = -x - 8 \]

\[ y = -x - 2 \]

2. Уравнение прямой BD:

Координаты точек B(6; 5) и D(−7; 1).

Найдем угловой коэффициент \( m_{BD} \):

\[ m_{BD} = \frac{1 - 5}{-7 - 6} = \frac{-4}{-13} = \frac{4}{13} \]

Уравнение прямой BD:

\[ y - 5 = \frac{4}{13}(x - 6) \]

\[ 13(y - 5) = 4(x - 6) \]

\[ 13y - 65 = 4x - 24 \]

\[ 13y = 4x + 41 \]

\[ y = \frac{4}{13}x + \frac{41}{13} \]

3. Решение системы уравнений:

Теперь решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = -x - 2 \\ y = \frac{4}{13}x + \frac{41}{13} \end{cases} \]

Приравняем правые части:

\[ -x - 2 = \frac{4}{13}x + \frac{41}{13} \]

Умножим обе части на 13, чтобы избавиться от дробей:

\[ -13x - 26 = 4x + 41 \]

Перенесем члены с x в одну сторону, а константы в другую:

\[ -13x - 4x = 41 + 26 \]

\[ -17x = 67 \]

\[ x = -\frac{67}{17} \]

Теперь найдем y, подставив значение x в первое уравнение:

\[ y = -(-\frac{67}{17}) - 2 \]

\[ y = \frac{67}{17} - \frac{34}{17} \]

\[ y = \frac{33}{17} \]

4. Построение фигуры ABCD:

Для построения фигуры ABCD на координатной плоскости отметим заданные вершины и соединим их отрезками в порядке A-B-C-D-A.

Ответ: точка пересечения ( -67/17 ; 33/17 ).