Построй график функции \( y = |x^2 - 9| \) и определи наибольшее возможное число общих точек с графиком этой функции. При каких значениях \( b \) прямая \( y = b \) будет иметь наибольшее число общих точек с графиком функции? Ответ: максимальное количество точек равно ; y = b, <b<.

Пошаговое решение:

1. Строим график функции \( y = |x^2 - 9| \):
• Строим параболу \( y = x^2 - 9 \). Это стандартная парабола \( y = x^2 \), смещенная вниз на 9 единиц.
• Берем модуль: все значения \( y \), которые отрицательные, отражаем симметрично относительно оси \( x \) вверх.
• В результате получаем график, у которого нижняя часть параболы (от -3 до 3 по оси \( x \)) отражена вверх.
2. Анализируем пересечения с прямой \( y = b \):
• Если \( b < 0 \), то прямая \( y = b \) не пересекает график функции, так как модуль всегда неотрицателен.
• Если \( b = 0 \), то прямая \( y = 0 \) (ось \( x \)) пересекает график в двух точках: \( x = -3 \) и \( x = 3 \).
• Если \( 0 < b < 9 \), то прямая \( y = b \) пересекает график в четырех точках.
• Если \( b = 9 \), то прямая \( y = 9 \) пересекает график в трех точках.
• Если \( b > 9 \), то прямая \( y = b \) пересекает график в двух точках.
3. Определяем наибольшее количество точек пересечения:

Наибольшее количество точек пересечения равно 4, и это происходит, когда \( 0 < b < 9 \).

Ответ: 4; y = b, 0