Построй график функции. Найди область определения и область значений. y = √x2− x + 1 Область определения функции D(f)= ( ; ) Область значений функции E(f)=

Решение

Рассмотрим функцию \(y = \sqrt{x^2 - x + 1}\).

1. Область определения:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:\[x^2 - x + 1 \ge 0\]

Рассмотрим квадратный трехчлен \(f(x) = x^2 - x + 1\). Его дискриминант равен:\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3\]

Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при \(x^2\) положительный, то квадратный трехчлен всегда положителен. Значит, неравенство выполняется для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Область определения функции: \(D(f) = (-\infty; +\infty)\)

2. Область значений:

Найдем наименьшее значение подкоренного выражения. Для этого найдем вершину параболы \(f(x) = x^2 - x + 1\):\[x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}\]

Тогда значение функции в этой точке:\[f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1 - 2 + 4}{4} = \frac{3}{4}\]

Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения равно \(\frac{3}{4}\). Тогда наименьшее значение функции \(y\) равно:\[y_{min} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Так как \(x^2 - x + 1\) может принимать сколь угодно большие значения при \(x \to \pm \infty\), то \(y\) также может принимать сколь угодно большие значения.

Область значений функции: \(E(f) = [\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)\)

Проверка за 10 секунд: Область определения - все действительные числа, область значений - от \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) до плюс бесконечности.

Уровень Эксперт: Помни, что дискриминант квадратного трехчлена определяет наличие или отсутствие корней, что влияет на знак выражения.