22. Построй график функции у = 4 |x + 1| - x²-3х-3. Определи, при каких значениях т прямая у — т имеет с графиком ровно три общие точки. Если значений т несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Привет! Разбираемся с функцией и графиком!

Смотри, какая у нас задача: нужно построить график функции \( y = 4|x + 1| - x^2 - 3x - 3 \) и определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки.

Пошаговое решение:

1. Упрощение функции:

   Рассмотрим функцию \( y = 4|x + 1| - x^2 - 3x - 3 \). Нам нужно избавиться от модуля, рассмотрев два случая:

   • Если \( x \geq -1 \), то \( |x + 1| = x + 1 \), и функция примет вид: \( y = 4(x + 1) - x^2 - 3x - 3 = 4x + 4 - x^2 - 3x - 3 = -x^2 + x + 1 \)
   • Если \( x < -1 \), то \( |x + 1| = -(x + 1) \), и функция примет вид: \( y = -4(x + 1) - x^2 - 3x - 3 = -4x - 4 - x^2 - 3x - 3 = -x^2 - 7x - 7 \)

2. Анализ каждой части функции:

   • Для \( x \geq -1 \): \( y = -x^2 + x + 1 \) — квадратичная функция, парабола, ветви направлены вниз.
   • Для \( x < -1 \): \( y = -x^2 - 7x - 7 \) — тоже квадратичная функция, парабола, ветви направлены вниз.

3. Нахождение вершин парабол:

   • Для \( x \geq -1 \): \( x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2(-1)} = \frac{1}{2} \). Тогда \( y_v = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4} \)
   • Для \( x < -1 \): \( x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{7}{2(-1)} = -\frac{7}{2} \). Тогда \( y_v = -(-\frac{7}{2})^2 - 7(-\frac{7}{2}) - 7 = -\frac{49}{4} + \frac{49}{2} - 7 = \frac{-49 + 98 - 28}{4} = \frac{21}{4} \)

4. Построение графика:

   Теперь построим график. У нас есть две параболы, каждая из которых определена на своем интервале:

   • Парабола 1: \( y = -x^2 + x + 1 \) для \( x \geq -1 \). Вершина в точке \( (0.5, 1.25) \).
   • Парабола 2: \( y = -x^2 - 7x - 7 \) для \( x < -1 \). Вершина в точке \( (-3.5, 5.25) \).

   Соединяем эти участки, учитывая, что в точке \( x = -1 \) они должны «сходиться».

5. Определение значений m:

   Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \( m \), чтобы она пересекала график ровно в трех точках. Это происходит, когда прямая касается одной из вершин и пересекает другую часть графика в двух точках.

   • Рассмотрим случай, когда \( y = \frac{5}{4} = 1.25 \). Прямая \( y = 1.25 \) пересекает график в точке \( (0.5, 1.25) \) и еще в двух точках.
   • Рассмотрим случай, когда \( y = \frac{21}{4} = 5.25 \). Прямая \( y = 5.25 \) пересекает график в точке \( (-3.5, 5.25) \) и еще в двух точках.

Значит, прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки при \( m = \frac{5}{4} \) и \( m = \frac{21}{4} \).

Ответ: 1.255.25