22. Построй график функции у = 2x - 5 5x - 2x2 и определи, при каком значении К прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для решения данной задачи необходимо:

1. Упростить функцию.
2. Найти область определения функции.
3. Исследовать функцию и построить ее график.
4. Найти значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упростим функцию:

$$y = \frac{2x - 5}{5x - 2x^2} = \frac{2x - 5}{x(5 - 2x)} = -\frac{2x - 5}{x(2x - 5)} = -\frac{1}{x}$$

Область определения функции:

$$x
eq 0, x
eq \frac{5}{2}$$

Построим график функции:

График функции $$y = -\frac{1}{x}$$ представляет собой гиперболу, расположенную во II и IV координатных четвертях.

Теперь определим, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку. Это означает, что прямая касается гиперболы в одной точке или проходит через точку разрыва.

Прямая y = kx проходит через начало координат (0, 0). Однако x = 0 исключен из области определения функции. Поэтому прямая не может проходить через эту точку.

Найдем точки касания прямой и гиперболы. Для этого приравняем уравнения:

$$kx = -\frac{1}{x}$$ $$kx^2 = -1$$ $$x^2 = -\frac{1}{k}$$

Чтобы уравнение имело ровно одно решение, необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю:

$$D = 0$$

В данном случае, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы -1/k > 0, то есть k < 0.

Пусть x = 5/2, тогда

$$y = k\frac{5}{2}$$ $$y = -\frac{1}{\frac{5}{2}} = -\frac{2}{5}$$

Подставим это в уравнение $$y = k\frac{5}{2}$$:

$$-\frac{2}{5} = k\frac{5}{2}$$ $$k = -\frac{4}{25}$$

Таким образом, при $$k = -\frac{4}{25}$$ прямая y = kx проходит через точку разрыва функции и имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построим график с помощью псевдографики:

       ^
       |
       |    / \
       |   /   \
       |  /     \
-------+--------->
       |  \     /
       |   \   /
       |    \ /
       |
       v

На графике изображена гипербола и прямая, проходящая через точку разрыва.

Ответ: $$k = -\frac{4}{25}$$