Построй график функции $$y = \frac{4 + 3x^2 - x^4}{4 - x^2}$$ и укажи наибольшее значение $$m$$, при котором прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком функции.

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростить выражение для функции.
2. Определить особые точки (точки разрыва).
3. Найти асимптоты функции.
4. Исследовать функцию на экстремумы.
5. Построить график функции.
6. Определить наибольшее значение $$m$$, при котором прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком.

1. Упрощение выражения для функции

Разложим числитель на множители:

$$y = \frac{4 + 3x^2 - x^4}{4 - x^2} = \frac{-(x^4 - 3x^2 - 4)}{-(x^2 - 4)} = \frac{-(x^2 - 4)(x^2 + 1)}{-(x^2 - 4)}$$

Сократим дробь, учитывая, что $$x^2
eq 4$$:

$$y = x^2 + 1, \quad x
eq \pm 2$$

2. Особые точки

Функция не определена при $$x = \pm 2$$. Это точки разрыва.

3. Асимптоты

Вертикальные асимптоты: $$x = -2$$ и $$x = 2$$.

Горизонтальные асимптоты: нет, так как функция является параболой с выколотыми точками.

4. Экстремумы

Функция $$y = x^2 + 1$$ является параболой с вершиной в точке $$(0, 1)$$. Найдем значение функции в точках разрыва:

При $$x = -2$$, $$y = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$$

При $$x = 2$$, $$y = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$$

Таким образом, в точках $$x = \pm 2$$ функция имеет разрыв, и $$y = 5$$.

5. График функции

График функции представляет собой параболу $$y = x^2 + 1$$ с выколотыми точками $$(-2, 5)$$ и $$(2, 5)$$.

6. Определение наибольшего значения m

Прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком, когда она проходит через выколотые точки. В данном случае, наибольшее значение $$m$$ будет чуть меньше 5.

Чтобы прямая $$y = m$$ не имела общих точек с графиком, она должна проходить выше вершины параболы $$(0, 1)$$, но ниже выколотых точек $$(\pm 2, 5)$$. Таким образом, $$m$$ должно быть больше 1, но меньше 5. Наибольшее целое значение $$m$$, при котором прямая не имеет общих точек с графиком, это значение непосредственно перед 5.

Так как требуется десятичная дробь, можно указать значение чуть меньше 5, например, 4.99.

На графике будут отображены: парабола, выколотые точки (-2, 5) и (2, 5).

Ответ: 4.99