Построй график функции y = (4 + 3x² - x⁴) / (4 - x²) и укажи наибольшее значение m, при котором прямая y = m не имеет общих точек с графиком функции. Запиши ответ в виде десятичной дроби, если у тебя получилось дробное число.

Привет! Разбираемся с функцией и графиком. Логика такая: нам нужно понять, при каком значении m прямая y = m не будет пересекать график заданной функции.

Преобразование функции:

Смотри, тут все упрощается! Давай преобразуем исходную функцию:

\[ y = \frac{4 + 3x^2 - x^4}{4 - x^2} \]

Можно заметить, что числитель раскладывается на множители:

\[ 4 + 3x^2 - x^4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1) - x^2 +4 = (4-x^2)(x^2 + 1) \]

Тогда функция примет вид:

\[ y = \frac{(4 - x^2)(x^2 + 1)}{4 - x^2} \]

Сокращаем дробь, но помним, что это можно сделать только при условии, что знаменатель не равен нулю:

\[ y = x^2 + 1, \quad x
eq \pm 2 \]

Значит, функция y = x² + 1, но с «выколотыми» точками при x = 2 и x = -2.

Анализ графика:

Графиком функции y = x² + 1 является парабола, смещенная на 1 единицу вверх по оси y.

Теперь найдем значение функции в «выколотых» точках:

\[ y(2) = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \]

Аналогично и для x = -2:

\[ y(-2) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \]

Таким образом, в точках x = 2 и x = -2 функция имеет значение y = 5. Это означает, что на графике есть «дырки» в точках (2, 5) и (-2, 5).

Определение наибольшего значения m:

Прямая y = m не будет иметь общих точек с графиком функции, если она пройдет через эти «дырки». То есть, если m = 5.

Наибольшее значение m, при котором прямая y = m не имеет общих точек с графиком функции, равно 5.

Ответ: 5.0