Построй график функции y = \frac{2-x}{x^2-2x} и определи, при каком значении k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Для решения задачи упростим дробь, построим график полученной функции и определим, при каких значениях k прямая y=kx будет иметь ровно одну точку пересечения с графиком.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощение функции
   Сначала упростим выражение для функции y. Вынесем x из знаменателя:
   \( y = \frac{2-x}{x(x-2)} \)
   Заметим, что 2-x = -(x-2). Подставим это в числитель:
   \( y = \frac{-(x-2)}{x(x-2)} \)
   При x ≠ 2 можно сократить (x-2):
   \( y = \frac{-1}{x} \)
   Таким образом, график функции y = \frac{2-x}{x^2-2x} совпадает с графиком функции y = -\frac{1}{x}, но имеет исключенный пункт в точке x=2. Найдем значение y в этой точке:
   \( y = -\frac{1}{2} \)
   Значит, график имеет разрыв в точке (2, -1/2).
2. Шаг 2: График функции
   График функции y = -\frac{1}{x} — это гипербола. Она проходит через II и IV координатные четверти. Особая точка (2, -1/2) должна быть выколота.
3. Шаг 3: Анализ пересечения с прямой y = kx
   Прямая y = kx проходит через начало координат (0,0) с любым наклоном k. Нам нужно найти такие значения k, при которых прямая пересекает гиперболу y = -\frac{1}{x} (с выколотой точкой) ровно в одной точке.
4. Шаг 4: Решение уравнения
   Приравняем функции, чтобы найти точки пересечения:
   \( kx = -\frac{1}{x} \)
   Умножим обе части на x (при условии, что x ≠ 0):
   \( kx^2 = -1 \)
   \( kx^2 + 1 = 0 \)
5. Шаг 5: Определение значений k
   Рассмотрим два случая:
   Случай 1: k = 0
   Уравнение примет вид 0*x^2 + 1 = 0, что равносильно 1 = 0. Это невозможно, значит, при k=0 нет точек пересечения (прямая y=0 — это ось абсцисс, которая не пересекает гиперболу y=-1/x).
   Случай 2: k ≠ 0
   Тогда x^2 = -\frac{1}{k}.
   • Если k > 0, то -\frac{1}{k} < 0. Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому действительных решений нет.
   • Если k < 0, то -\frac{1}{k} > 0. Тогда x = ±\sqrt{-\frac{1}{k}}. В этом случае у нас будет две точки пересечения.
   
   Теперь учтем выколотую точку (2, -1/2).
   Прямая y=kx будет иметь ровно одну точку пересечения с графиком, если:
   1. Эта точка одна, и она не является выколотой.
   2. Одна из точек пересечения является выколотой.
   
   Проверим, через какую точку проходит прямая y=kx.
   Если прямая проходит через выколотую точку (2, -1/2), то:
   \( -\frac{1}{2} = k imes 2 \)
   \( k = -\frac{1}{4} \)
   При k = -1/4, уравнение kx^2 + 1 = 0 будет иметь вид:
   \( -\frac{1}{4}x^2 + 1 = 0 \)
   \( -\frac{1}{4}x^2 = -1 \)
   \( x^2 = 4 \)
   \( x = ±2 \)
   Получаем две точки пересечения: x = 2 и x = -2.
   Но точка x = 2 выколота. Значит, при k = -1/4 остается только одна точка пересечения (где x = -2).
   При всех остальных отрицательных значениях k (k < 0 и k ≠ -1/4) прямая y=kx будет пересекать гиперболу y=-1/x в двух точках, одна из которых будет выколотой, но вторая будет существовать.

Ответ: -1/4