Построй график функции y = |x-2| + |x+2|

Привет! Давай вместе разберемся, как построить график этой функции. Это несложно, если понять логику.

1. Освободимся от знака модуля

Чтобы избавиться от модуля, нам нужно рассмотреть разные случаи для значений x. Вспомни, что |a| = a, если a ≥ 0, и |a| = -a, если a < 0.

В нашей функции есть два выражения под модулем: (x - 2) и (x + 2).

Найдем, где эти выражения равны нулю:

• x - 2 = 0 => x = 2
• x + 2 = 0 => x = -2

Эти точки (-2 и 2) делят числовую прямую на три промежутка:

1. x < -2
2. -2 ≤ x < 2
3. x ≥ 2

Теперь рассмотрим нашу функцию на каждом из этих промежутков:

1. Если x < -2:
   • x - 2 будет отрицательным (например, при x = -3, -3 - 2 = -5). Значит, |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2.
   • x + 2 будет отрицательным (например, при x = -3, -3 + 2 = -1). Значит, |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2.
   • Тогда функция будет: y = (-x + 2) + (-x - 2) = -x + 2 - x - 2 = -2x.
2. Если -2 ≤ x < 2:
   • x - 2 будет отрицательным (например, при x = 0, 0 - 2 = -2). Значит, |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2.
   • x + 2 будет неотрицательным (например, при x = 0, 0 + 2 = 2). Значит, |x + 2| = x + 2.
   • Тогда функция будет: y = (-x + 2) + (x + 2) = -x + 2 + x + 2 = 4.
3. Если x ≥ 2:
   • x - 2 будет неотрицательным (например, при x = 3, 3 - 2 = 1). Значит, |x - 2| = x - 2.
   • x + 2 будет неотрицательным (например, при x = 3, 3 + 2 = 5). Значит, |x + 2| = x + 2.
   • Тогда функция будет: y = (x - 2) + (x + 2) = x - 2 + x + 2 = 2x.

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию:

• y = -2x, если x < -2
• y = 4, если -2 ≤ x < 2
• y = 2x, если x ≥ 2

2. Построим график каждого кусочка функции на заданном промежутке.

Для построения графика нам понадобятся несколько точек для каждого промежутка.

• Для y = -2x (при x < -2):
  • Пусть x = -3, тогда y = -2 * (-3) = 6. Точка: (-3; 6).
  • Пусть x = -2, тогда y = -2 * (-2) = 4. Точка: (-2; 4).
• Для y = 4 (при -2 ≤ x < 2):
  • Это горизонтальная прямая. Она проходит через все точки, где y = 4.
  • Нам нужно отметить точки на концах промежутка: (-2; 4) и (при приближении к x=2, y=4).
• Для y = 2x (при x ≥ 2):
  • Пусть x = 2, тогда y = 2 * 2 = 4. Точка: (2; 4).
  • Пусть x = 3, тогда y = 2 * 3 = 6. Точка: (3; 6).

Теперь построим эти точки на координатной плоскости и соединим их.

График будет состоять из трех частей:

• Луч, исходящий из точки (-2; 4) и идущий вверх влево (y = -2x).
• Горизонтальный отрезок от (-2; 4) до (2; 4) (y = 4).
• Луч, исходящий из точки (2; 4) и идущий вверх вправо (y = 2x).

В результате получится график в виде буквы 'V' с усеченной нижней частью, похожий на 'W', но с плоским дном.

Ответ: График функции y = |x-2| + |x+2| состоит из трех частей: y = -2x при x < -2, y = 4 при -2 ≤ x < 2, и y = 2x при x ≥ 2.