22. Построй график функции -x² - x + 3, x ≥-2 { -x - 2, x < -2 и определи, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10)

Решение

Давай разберем по порядку, как решить эту задачу. Сначала проанализируем заданную функцию и определим, как выглядит ее график на различных участках.

Функция задана кусочно:

• Для x ≥ -2: y = -x² - x + 3
• Для x < -2: y = -x - 2

Нам нужно найти значения m, при которых прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком этой функции.

1. Анализ первого участка (x ≥ -2):

   y = -x² - x + 3 — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный. Найдем вершину параболы, чтобы понять, как она выглядит:

   Координата x вершины параболы: x_v = -b / (2a) = -(-1) / (2 * (-1)) = -0.5

   Координата y вершины параболы: y_v = -(-0.5)² - (-0.5) + 3 = -0.25 + 0.5 + 3 = 3.25

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (-0.5, 3.25). Так как x ≥ -2, нам нужно рассмотреть часть параболы от x = -2 и далее.

2. Анализ второго участка (x < -2):

   y = -x - 2 — это прямая линия с угловым коэффициентом -1. При x = -2, y = -(-2) - 2 = 0. Так как x строго меньше -2, эта точка не включена, и прямая идет вниз при увеличении x.

3. Соединение участков:

   При x = -2 для параболы: y = -(-2)² - (-2) + 3 = -4 + 2 + 3 = 1.

   То есть, в точке x = -2 парабола имеет значение y = 1, а прямая стремится к значению y = 0, но не достигает его.

4. Поиск значений m:

   Теперь нам нужно найти такие значения m, при которых прямая y = m пересекает график ровно в двух точках.

   • Когда m = 1: Прямая y = 1 пересекает параболу в точке (-2, 1) и еще в одной точке на участке параболы.
   • Когда m = 3.25: Прямая y = 3.25 касается параболы в ее вершине (-0.5, 3.25). Это дает одну точку пересечения. Чтобы получить вторую точку, нужно, чтобы прямая пересекала еще и прямую y = -x - 2. Но так как прямая y = m должна иметь ровно две общие точки с графиком функции, случай m = 3.25 нам не подходит.
   • При m ∈ (0;1): Прямая пересекает график в двух точках: на параболе и на прямой y = -x-2.

Таким образом, прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком функции при m = 1 и при m ∈ (0;1).

В ответ нужно записать полученное число и числовой промежуток без пробелов.

Ответ: 1(0;1)

Ты отлично справился с анализом функции и нахождением нужных значений m. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!