Построй графики функций: a) y = 4 / |x|, б) y = -2 / |x|.

Привет! Давай построим графики этих функций вместе. Это несложно, главное — понять, как ведёт себя функция с модулем.

а) График функции y = \( \frac{4}{|x|} \)

1. Анализ функции:

• Область определения: Функция определена для всех x, кроме x = 0.
• Чётность: Функция чётная, потому что f(-x) = \( \frac{4}{|-x|} \) = \( \frac{4}{|x|} \) = f(x). Это значит, что график будет симметричен относительно оси y.
• Поведение при x -> 0: При приближении x к нулю (с любой стороны), знаменатель |x| стремится к нулю, а дробь стремится к плюс бесконечности.
• Поведение при x -> ±∞: При больших по модулю значениях x, знаменатель |x| растёт, а дробь стремится к нулю.

2. Построение графика:

Так как функция чётная, построим график для x > 0, а затем отразим его симметрично относительно оси y.

• При x > 0, |x| = x, поэтому функция выглядит как y = \( \frac{4}{x} \). Это гипербола.
• Возьмём несколько точек для x > 0:
  • Если x = 1, то y = \( \frac{4}{1} \) = 4. Точка (1; 4).
  • Если x = 2, то y = \( \frac{4}{2} \) = 2. Точка (2; 2).
  • Если x = 4, то y = \( \frac{4}{4} \) = 1. Точка (4; 1).
• Отразим эти точки симметрично относительно оси y для x < 0:
  • Точка (-1; 4).
  • Точка (-2; 2).
  • Точка (-4; 1).

3. График:

На графике видно, что он состоит из двух ветвей гиперболы, симметричных относительно оси y.

б) График функции y = \( -\frac{2}{|x|} \)

1. Анализ функции:

• Область определения: Также, как и в первом случае, x ≠ 0.
• Чётность: Функция также чётная: f(-x) = \( -\frac{2}{|-x|} \) = \( -\frac{2}{|x|} \) = f(x). График симметричен относительно оси y.
• Поведение при x -> 0: Знаменатель |x| стремится к нулю, а вся дробь \( -\frac{2}{|x|} \) стремится к минус бесконечности.
• Поведение при x -> ±∞: Дробь стремится к нулю.
• Знак функции: Поскольку |x| всегда положительно, то \( -\frac{2}{|x|} \) всегда будет отрицательной. График будет располагаться ниже оси x.

2. Построение графика:

Построим график для x > 0, а затем отразим его.

• При x > 0, |x| = x, поэтому функция выглядит как y = \( -\frac{2}{x} \). Это гипербола, расположенная в III и IV координатных четвертях.
• Возьмём несколько точек для x > 0:
  • Если x = 1, то y = \( -\frac{2}{1} \) = -2. Точка (1; -2).
  • Если x = 2, то y = \( -\frac{2}{2} \) = -1. Точка (2; -1).
  • Если x = 4, то y = \( -\frac{2}{4} \) = -0.5. Точка (4; -0.5).
• Отразим эти точки симметрично относительно оси y для x < 0:
  • Точка (-1; -2).
  • Точка (-2; -1).
  • Точка (-4; -0.5).

3. График:

Этот график также состоит из двух ветвей гиперболы, но расположен он полностью ниже оси x.

Ответ: Графики построены выше.