Построй математические модели задач: 1) У Вити было на 80 р. больше, чем у Маши. Когда Витя потратил половину своих денег, у него стало на 10 р. меньше, чем было у Маши. Сколько денег было у Маши и Вити вместе первоначально? 2) В трёх поселках живут 6000 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем на 500 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором поселке? 3) Из города А в город В выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста на 30 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он за- тратил на весь путь на 4 ч больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если расстояние между городами 90 км? 4) Пешеход должен был пройти 12 км за определённый срок, но он был задержан с выходом на 1 ч. Поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шёл пешеход, если он пришёл вовремя?

Задача 1

Пошаговое решение:

• Пусть у Маши было \(x\) рублей, тогда у Вити было \(x + 80\) рублей.
• После того как Витя потратил половину своих денег, у него осталось \(\frac{x + 80}{2}\) рублей.
• По условию, после этого у Вити стало на 10 рублей меньше, чем у Маши, то есть \(\frac{x + 80}{2} = x - 10\).
• Решаем уравнение:

\[\frac{x + 80}{2} = x - 10\] \[x + 80 = 2x - 20\] \[x = 100\]

• Значит, у Маши было 100 рублей, а у Вити \(100 + 80 = 180\) рублей.
• Вместе у них было \(100 + 180 = 280\) рублей.

Ответ: 280 рублей.

Задача 2

Пошаговое решение:

• Пусть в первом поселке \(x\) жителей, тогда во втором \(2x\) жителей, а в третьем \(2x - 500\) жителей.
• В сумме в трех поселках 6000 жителей: \(x + 2x + 2x - 500 = 6000\).
• Решаем уравнение:

\[x + 2x + 2x - 500 = 6000\] \[5x = 6500\] \[x = 1300\]

• Во втором поселке \(2x = 2 \cdot 1300 = 2600\) жителей.

Ответ: 2600 жителей.

Задача 3

Пошаговое решение:

• Пусть скорость мотоциклиста \(v\) км/ч, тогда скорость велосипедиста \(v - 30\) км/ч.
• Время, которое потратил велосипедист: \(t_1 = \frac{90}{v - 30}\).
• Время, которое потратил мотоциклист: \(t_2 = \frac{90}{v}\).
• Разница во времени 4 часа: \(t_1 - t_2 = 4\).
• Составляем уравнение:

\[\frac{90}{v - 30} - \frac{90}{v} = 4\] \[\frac{90v - 90(v - 30)}{v(v - 30)} = 4\] \[\frac{2700}{v^2 - 30v} = 4\] \[4v^2 - 120v - 2700 = 0\] \[v^2 - 30v - 675 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-675) = 900 + 2700 = 3600\] \[v_1 = \frac{30 + \sqrt{3600}}{2} = \frac{30 + 60}{2} = 45\] \[v_2 = \frac{30 - 60}{2} = -15\]

• Отрицательная скорость не имеет смысла, поэтому скорость мотоциклиста 45 км/ч.

Ответ: 45 км/ч.

Задача 4

Пошаговое решение:

• Пусть \(v\) км/ч — скорость пешехода, \(t\) часов — запланированное время.
• Тогда \(vt = 12\).
• Из-за задержки и увеличения скорости: \((v + 1)(t - 1) = 12\).
• Раскрываем скобки: \(vt - v + t - 1 = 12\).
• Подставляем \(vt = 12\): \(12 - v + t - 1 = 12\).
• \(t - v = 1\), значит, \(t = v + 1\).
• Подставляем в первое уравнение: \(v(v + 1) = 12\).
• \(v^2 + v - 12 = 0\).

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\] \[v_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\] \[v_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4\]

• Отрицательная скорость не имеет смысла, поэтому скорость пешехода 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.