Построй схему смены знаков и реши неравенство \frac{x+1}{(3-x)^3(x-1)^2} > 0 Определи точки, где числитель или знаменатель обращаются в нуль

Решим данное неравенство методом интервалов.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$x + 1 = 0$$

$$x = -1$$

$$3 - x = 0$$

$$x = 3$$

$$x - 1 = 0$$

$$x = 1$$

Отметим полученные точки на числовой прямой. Точки 1 и 3 будут выколотыми, так как они являются нулями знаменателя, а знаменатель не может быть равен нулю. Точка -1 будет закрашенной, так как неравенство строгое.

     +                 -                   +                    -
----(-1)--------(1)--------(3)---------> x

Определим знаки на каждом интервале:

1. $$x \in (-\infty; -1)$$, например, $$x = -2$$

   $$\frac{-2+1}{(3-(-2))^3(-2-1)^2} = \frac{-1}{5^3 \cdot 9} < 0$$

2. $$x \in (-1; 1)$$, например, $$x = 0$$

   $$\frac{0+1}{(3-0)^3(0-1)^2} = \frac{1}{27 \cdot 1} > 0$$

3. $$x \in (1; 3)$$, например, $$x = 2$$

   $$\frac{2+1}{(3-2)^3(2-1)^2} = \frac{3}{1 \cdot 1} > 0$$

4. $$x \in (3; +\infty)$$, например, $$x = 4$$

   $$\frac{4+1}{(3-4)^3(4-1)^2} = \frac{5}{(-1)^3 \cdot 9} < 0$$

Выберем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $$x \in [-1; 1) \cup (1; 3)$$