Постройте график функции \[y = \frac{1}{2}(\left | \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \right | + \frac{x}{4.5} + \frac{4.5}{x}).\] Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим выражение для функции: \[y = \frac{1}{2}(\left | \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \right | + \frac{x}{4.5} + \frac{4.5}{x})\] Рассмотрим два случая: 1. Если \(\frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \geq 0\), то \(\left | \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \right | = \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x}\), и тогда \[y = \frac{1}{2}(\frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} + \frac{x}{4.5} + \frac{4.5}{x}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{4.5} = \frac{x}{4.5}\] 2. Если \(\frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} < 0\), то \(\left | \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \right | = -(\frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x}) = \frac{4.5}{x} - \frac{x}{4.5}\), и тогда \[y = \frac{1}{2}(\frac{4.5}{x} - \frac{x}{4.5} + \frac{x}{4.5} + \frac{4.5}{x}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4.5}{x} = \frac{4.5}{x}\] Теперь определим, когда \(\frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \geq 0\): \[\frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \geq 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 4.5^2}{4.5x} \geq 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 20.25}{4.5x} \geq 0\] Значит, \(x > 0\) (потому что в знаменателе x). Тогда \(x^2 - 20.25 \geq 0\), то есть \(x^2 \geq 20.25\), и \(x \geq 4.5\). Таким образом, функция имеет вид: \[y = \begin{cases} \frac{4.5}{x}, & 0 < x < 4.5 \\ \frac{x}{4.5}, & x \geq 4.5 \end{cases}\] Теперь построим график этой функции. Из графика видно, что прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку, когда \(m = 1\).