Постройте график функции y = ((x² + 2,25)(x - 1))/(1 - x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Давай разберем эту задачу по шагам. Нам нужно построить график функции и найти значения параметра k, при которых прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упростим функцию:

   Заметим, что функция имеет вид:

   \[ y = \frac{(x^2 + 2.25)(x - 1)}{1 - x} \]

   Мы можем упростить это выражение, учитывая, что (x - 1) = -(1 - x):

   \[ y = \frac{-(x^2 + 2.25)(1 - x)}{1 - x} \]

   Сократим (1 - x) в числителе и знаменателе, но помним, что x ≠ 1:

   \[ y = -(x^2 + 2.25), \text{ при } x
   eq 1 \]

2. Построим график упрощенной функции:

   График функции y = -(x^2 + 2.25) является параболой, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, -2.25). Но у нас есть ограничение x ≠ 1. Значит, в точке x = 1 на параболе будет «выколотая» точка. Найдем y-координату этой точки:

   \[ y(1) = -(1^2 + 2.25) = -3.25 \]

   Итак, на графике есть «выколотая» точка (1, -3.25).

3. Прямая y = kx:

   Прямая y = kx проходит через начало координат (0, 0). Задача состоит в том, чтобы найти такие значения k, при которых эта прямая имеет с параболой ровно одну общую точку.

4. Условие одной общей точки:

   Чтобы найти значения k, при которых прямая y = kx имеет только одну общую точку с графиком, нужно рассмотреть несколько случаев:

   • Прямая касается параболы. В этом случае дискриминант уравнения -(x^2 + 2.25) = kx должен быть равен нулю.

     Запишем уравнение в виде:

     \[ x^2 + kx + 2.25 = 0 \]

     Дискриминант:

     \[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25 = k^2 - 9 \]

     Чтобы прямая касалась параболы, D = 0:

     \[ k^2 - 9 = 0 \Rightarrow k = \pm 3 \]

     Итак, k = 3 и k = -3 дают нам касательные прямые.

   • Прямая проходит через «выколотую» точку (1, -3.25). Если прямая проходит через эту точку, она пересекает параболу в одной точке (исключая «выколотую» точку). Подставим координаты точки в уравнение прямой:

     \[ -3.25 = k \cdot 1 \Rightarrow k = -3.25 \]

5. Исключаем k = -3:

   При k = -3 прямая является касательной к параболе. Однако, надо проверить, не проходит ли эта касательная через выколотую точку (1, -3.25). Подставим x=1 в уравнение касательной y = -3x:

   \[ y = -3 \cdot 1 = -3 \]

   Эта касательная не проходит через выколотую точку (1, -3.25), так как -3 ≠ -3.25. Следовательно, касательная y = -3x имеет только одну общую точку с графиком функции (кроме выколотой точки).

6. Исключаем k = 3:

   Аналогично проверим касательную y = 3x:

   \[ y = 3 \cdot 1 = 3 \]

   Эта касательная также не проходит через выколотую точку (1, -3.25), следовательно, касательная y = 3x имеет только одну общую точку с графиком функции (кроме выколотой точки).

Теперь мы можем собрать все значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку: k = 3, k = -3 и k = -3.25.

Ответ: k = 3, k = -3, k = -3.25

Ответ: k = 3; -3; -3.25

Ты отлично справился с заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!