Постройте график функции y=((x²+2,25)(х+1))/(-1-x). Определите, при каких значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Пошаговое решение:

• Упростим функцию: \( y = \frac{(x^2 + 2.25)(x + 1)}{-1 - x} \)
• Заметим, что \( -1 - x = -(x + 1) \), поэтому: \( y = \frac{(x^2 + 2.25)(x + 1)}{-(x + 1)} \)
• Сократим \( (x + 1) \): \( y = -(x^2 + 2.25) \), при \( x ≠ -1 \)
• Получаем \( y = -x^2 - 2.25 \). Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \( (0, -2.25) \).
• Так как \( x ≠ -1 \), нужно исключить точку на параболе, где \( x = -1 \). Подставим \( x = -1 \) в уравнение параболы: \( y = -(-1)^2 - 2.25 = -1 - 2.25 = -3.25 \). Значит, точка \( (-1, -3.25) \) отсутствует на графике.
• Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат. Нам нужно найти такие значения \( k \), чтобы прямая имела с параболой только одну общую точку.
• Прямая может касаться параболы, или проходить через выколотую точку \( (-1, -3.25) \).
• Найдем уравнение касательной к параболе. Для этого приравняем \( kx = -x^2 - 2.25 \): \( x^2 + kx + 2.25 = 0 \).
• Чтобы уравнение имело одно решение (касание), дискриминант должен быть равен нулю: \( D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25 = k^2 - 9 = 0 \). Отсюда \( k = ±3 \).
• Если прямая проходит через выколотую точку \( (-1, -3.25) \), то \( -3.25 = k \cdot (-1) \), следовательно, \( k = 3.25 \).

Ответ: k = -3; k = 3; k = 3,25