Постройте график функции: a) f(x) = √(x + 2)² – 1; б) h(x) = (√x+2)² - 1.

Решение:

Заметим, что в обоих случаях функции связаны с выражением \( \sqrt{x+2} \).

a) \( f(x) = \sqrt{(x + 2)^2} – 1 \)

Известно, что \( \sqrt{a^2} = |a| \). Следовательно, \( f(x) = |x + 2| - 1 \).

Это график функции \( y = |x| \), сдвинутый на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз.

• Вершина параболы будет в точке \( (-2, -1) \).
• При \( x \geq -2 \), \( f(x) = (x + 2) - 1 = x + 1 \).
• При \( x < -2 \), \( f(x) = -(x + 2) - 1 = -x - 2 - 1 = -x - 3 \).

График будет выглядеть как "галочка" с вершиной в \( (-2, -1) \).

б) \( h(x) = (\sqrt{x+2})^2 - 1 \)

Выражение \( (\sqrt{a})^2 = a \) для \( a \geq 0 \). Следовательно, \( h(x) = (x + 2) - 1 \), при условии, что \( x + 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq -2 \).

Таким образом, \( h(x) = x + 1 \) для \( x \geq -2 \).

• Это часть прямой линии.
• Начальная точка графика будет в \( (-2, 0) \), так как \( h(-2) = -2 + 1 = -1 \) - нет, при \( x = -2 \), \( h(-2) = (-2) + 2 = 0 \), \( \sqrt{0}=0 \), \( h(-2) = 0^2 - 1 = -1 \).
• График начинается в точке \( (-2, -1) \) и идет вверх под углом 45 градусов.

Графики:

Поскольку я не могу рисовать графики напрямую, представьте:

• График а): Это V-образная кривая с вершиной в точке (-2, -1). Левая часть графика идет вверх и влево, правая часть - вверх и вправо.
• График б): Это луч, начинающийся в точке (-2, -1) и идущий вправо и вверх под углом 45 градусов.

Ответ: График функции a) представляет собой "галочку", график функции б) - это луч.