Постройте график функции: а) $y=x^2-4x-5$; б) $y=-\frac{1}{3}x^2+2x$. В каждом случае укажите: 1) нули функции; 2) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции: а) $y=x^2-4x-5$; б) $y=-\frac{1}{3}x^2+2x$. В каждом случае укажите: 1) нули функции; 2)…$ Фото задания

Постройте график функции: а) $y=x^2-4x-5$; б) $y=-\frac{1}{3}x^2+2x$. В каждом случае укажите: 1) нули функции; 2) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Accepted Answer

а) $y=x^2-4x-5$

Преобразуем уравнение:

\[y=x^2-4x-5=(x-5)(x+1).\]

Парабола направлена вверх. Её вершина:

\[x_в=\frac{-(-4)}{2\cdot1}=2,\qquad y_в=2^2-4\cdot2-5=-9.\]

Вершина параболы: $V(2;-9)$.

1) Нули функции:

\[(x-5)(x+1)=0,\qquad x_1=-1,\quad x_2=5.\]

2) Положительные значения: парабола расположена выше оси $Ox$ при $x<-1$ или $x>5$.

График:

б) $y=-\frac{1}{3}x^2+2x$

Вынесем общий множитель:

\[y=-\frac{1}{3}x(x-6).\]

Парабола направлена вниз. Её вершина:

\[x_в=\frac{-2}{2\cdot\left(-\frac13\right)}=3,\qquad y_в=-\frac13\cdot3^2+2\cdot3=3.\]

Вершина параболы: $V(3;3)$.

1) Нули функции:

\[-\frac13x(x-6)=0,\qquad x_1=0,\quad x_2=6.\]

2) Положительные значения: парабола расположена выше оси $Ox$ при $0<x<6$.

График:

Ответ: а) нули функции: $x=-1$, $x=5$; функция положительна при $x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$. б) нули функции: $x=0$, $x=6$; функция положительна при $x\in(0;6)$.