Постройте график функции f(x) = -4/x. По графику определите: a) f(5); f(-5); f(8); f(-8); б) значение x, при котором f(x) = 8; f(x) = -8; f(x) = 6; f(x) = -6; в) возрастает или убывает функция при x > 0; при x < 0; г) на каком промежутке значения функции положительны.

Краткое пояснение:

Для решения задачи построим график функции \( f(x) = -\frac{4}{x} \). Это гипербола, ветви которой находятся во II и IV координатных четвертях. Затем, используя график, найдем значения функции в заданных точках, значения аргумента для заданных значений функции, определим промежутки возрастания/убывания и промежутки, где функция положительна.

Пошаговое решение:

1. Построение графика функции \( f(x) = -\frac{4}{x} \):

   Это обратная пропорциональность. График — гипербола. Оси координат являются асимптотами. Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях, так как коэффициент \( -4 \) отрицательный.

   Точки для построения:

   • При \( x = -4 \), \( f(x) = -\frac{4}{-4} = 1 \). Точка (-4, 1).
   • При \( x = -2 \), \( f(x) = -\frac{4}{-2} = 2 \). Точка (-2, 2).
   • При \( x = -1 \), \( f(x) = -\frac{4}{-1} = 4 \). Точка (-1, 4).
   • При \( x = 1 \), \( f(x) = -\frac{4}{1} = -4 \). Точка (1, -4).
   • При \( x = 2 \), \( f(x) = -\frac{4}{2} = -2 \). Точка (2, -2).
   • При \( x = 4 \), \( f(x) = -\frac{4}{4} = -1 \). Точка (4, -1).
2. а) Нахождение значений функции:
   • \( f(5) = -\frac{4}{5} = -0.8 \)
   • \( f(-5) = -\frac{4}{-5} = \frac{4}{5} = 0.8 \)
   • \( f(8) = -\frac{4}{8} = -0.5 \)
   • \( f(-8) = -\frac{4}{-8} = \frac{4}{8} = 0.5 \)
3. б) Нахождение значений \( x \) для заданных значений \( f(x) \):
   • Если \( f(x) = 8 \): \( -\frac{4}{x} = 8 \) \( x = -\frac{4}{8} = -0.5 \)
   • Если \( f(x) = -8 \): \( -\frac{4}{x} = -8 \) \( x = -\frac{4}{-8} = 0.5 \)
   • Если \( f(x) = 6 \): \( -\frac{4}{x} = 6 \) \( x = -\frac{4}{6} = -2/3 \)
   • Если \( f(x) = -6 \): \( -\frac{4}{x} = -6 \) \( x = -\frac{4}{-6} = 2/3 \)
4. в) Возрастание и убывание функции:
   • При \( x > 0 \) функция убывает.
   • При \( x < 0 \) функция убывает.

   Пояснение: Для функции вида \( y = \frac{k}{x} \), если \( k < 0 \), функция убывает на всей области определения ( \( x
   eq 0 \)).

5. г) Промежутки, на которых значения функции положительны:

   Значения функции \( f(x) \) положительны, когда \( -\frac{4}{x} > 0 \). Это происходит, когда \( x \) отрицателен, так как отрицательное число, деленное на отрицательное, дает положительное. Следовательно, \( x < 0 \).

   Промежуток: \( (-\infty; 0) \)

Ответ: a) \( f(5) = -0.8 \); \( f(-5) = 0.8 \); \( f(8) = -0.5 \); \( f(-8) = 0.5 \). б) \( x = -0.5 \) (при \( f(x) = 8 \)); \( x = 0.5 \) (при \( f(x) = -8 \)); \( x = -2/3 \) (при \( f(x) = 6 \)); \( x = 2/3 \) (при \( f(x) = -6 \)). в) Функция убывает при \( x > 0 \) и при \( x < 0 \). г) Функция положительна на промежутке \( (-\infty; 0) \).