Постройте график функции \(f(x)=6x-2x^2\). Используя график, найдите: 1) наибольшее и наименьшее значения функции; 2) область значений функции; 3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции; 4) множество решений неравенств \(f(x)>0\); \(f(x)\le 0\).

Выделим полный квадрат: \(f(x)=-2(x-1.5)^2+4.5\). Вершина параболы — \((1.5;4.5)\), ветви направлены вниз.

Нули функции: \(6x-2x^2=2x(3-x)=0\), откуда \(x=0\) и \(x=3\).

Наибольшее значение равно \(4.5\) при \(x=1.5\); наименьшего значения нет. Область значений: \((-\infty;4.5]\). Функция возрастает на \((-\infty;1.5]\) и убывает на \([1.5;+\infty)\). Между нулями парабола расположена выше оси абсцисс.

Ответ: 1) наибольшее значение равно \(4.5\), наименьшего значения нет; 2) \((-\infty;4.5]\); 3) возрастает на \((-\infty;1.5]\), убывает на \([1.5;+\infty)\); 4) \(f(x)>0\) при \(x\in(0;3)\), \(f(x)\le0\) при \(x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty)\).