Постройте график функции $$f(x) = \begin{cases} 10 - x^2, & \text{при } x < 3 \\ x^2 - 8, & \text{при } x \ge 3 \end{cases}$$Найдите все значения с, при которых прямая y = с имеет с построенным графиком ровно две общие точки.

Question

Постройте график функции $$f(x) = \begin{cases} 10 - x^2, & \text{при } x < 3 \\ x^2 - 8, & \text{при } x \ge 3 \end{cases}$$Найдите все значения с, при которых прямая y = с имеет с построенным графиком ровно две общие точки.

$Фото задания: Постройте график функции $$f(x) = \begin{cases} 10 - x^2, & \text{при } x < 3 \\ x^2 - 8, & \text{при } x \ge 3…$ Фото задания

Accepted Answer

Построение графика функции:

График состоит из двух частей:

Для $ x < 3 $ график функции $ y = 10 - x^2 $. Это парабола с ветвями вниз, вершина в точке (0, 10). При $ x = 3 $, $ y = 10 - 3^2 = 1 $. Точка (3, 1) — граничная, но не включается в эту часть графика (выколотая).
Для $ x \ge 3 $ график функции $ y = x^2 - 8 $. Это парабола с ветвями вверх, вершина в точке (0, -8). При $ x = 3 $, $ y = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1 $. Точка (3, 1) включается в эту часть графика.

Нахождение значений с:

Прямая $ y = c $ — это горизонтальная линия. Чтобы она имела ровно две общие точки с графиком, она должна пересекать обе части графика или касаться вершины одной из частей.

Пересечение с первой частью параболы $ y = 10 - x^2 $ при $ x < 3 $: $ y_{max} = 10 $ (вершина). График идёт от $ y = 1 $ (не включая) до $ y = 10 $ (включительно). Значит, для $ c $ в интервале $ (1, 10] $ будет одна точка пересечения с этой частью.
Пересечение со второй частью параболы $ y = x^2 - 8 $ при $ x \ge 3 $: Эта часть графика начинается с $ y = 1 $ (включая) и неограниченно возрастает.
Анализ числа точек пересечения:

Если $ c = 1 $, прямая $ y = 1 $ проходит через точку (3, 1). Эта точка является граничной для обеих частей. Однако, для первой части $ x<3 $ точка (3,1) выколота, а для второй $x\ge 3 $ она входит. Поэтому $ y=1 $ даст одну точку пересечения.
Если $ c $ находится в интервале $ (1, 10) $, прямая $ y = c $ пересекает первую часть графика один раз (так как $ y = 10-x^2 $ убывает при $ x>0 $) и вторую часть графика один раз (так как $ y=x^2-8 $ возрастает при $ x>3 $). Итого 2 точки.
Если $ c = 10 $, прямая $ y = 10 $ касается вершины первой части графика (в точке (0, 10)) и пересекает вторую часть графика один раз. Итого 2 точки.
Если $ c > 10 $, прямая $ y = c $ не пересекает первую часть и пересекает вторую часть один раз. Итого 1 точка.
Если $ c < 1 $, прямая $ y = c $ не пересекает ни первую, ни вторую часть графика (так как минимальное значение второй части при $ x=3 $ равно 1). Итого 0 точек.

Таким образом, прямая $ y = c $ имеет ровно две общие точки с графиком функции при $ c $ из интервала $ (1, 10] $.

Ответ: $ c $ $ \in $ $ (1, 10] $.