Постройте график функции \(f(x)=x^2-2x-3\). Используя график, найдите: 1) наибольшее и наименьшее значения функции; 2) область значений функции; 3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции; 4) множество решений неравенств \(f(x)<0\); \(f(x)\ge 0\).

Преобразуем функцию, выделив полный квадрат: \(f(x)=(x-1)^2-4\). Поэтому вершина параболы — \((1;-4)\), ветви направлены вверх.

Нули функции: \(x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=0\), откуда \(x=-1\) и \(x=3\).

Наименьшее значение равно \(-4\) при \(x=1\); наибольшего значения нет. Область значений: \([-4;+\infty)\). Функция убывает на \((-\infty;1]\) и возрастает на \([1;+\infty)\). Между нулями парабола расположена ниже оси абсцисс.

Ответ: 1) наибольшего значения нет, наименьшее равно \(-4\); 2) \([-4;+\infty)\); 3) убывает на \((-\infty;1]\), возрастает на \([1;+\infty)\); 4) \(f(x)<0\) при \(x\in(-1;3)\), \(f(x)\ge0\) при \(x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)\).