Постройте график функции f(x) = {-x^2 + 4x + 4 при x < -2, 1 при x = -2, -x - 8 при x > -2. При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком функции y = f(x) ровно одну общую точку?

Построение графика функции

Сначала построим график функции, состоящей из трёх частей:

1. Для \( x < -2 \): \( y = -x^2 + 4x + 4 \)

Это парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы. Координата \( x_в \) вершины вычисляется по формуле \( x_в = -b / (2a) \). В данном случае \( a = -1, b = 4 \), поэтому \( x_в = -4 / (2 · -1) = -4 / -2 = 2 \).

Значение \( y \) в вершине: \( y_в = -(2)^2 + 4(2) + 4 = -4 + 8 + 4 = 8 \). Вершина параболы находится в точке (2, 8).

Так как условие \( x < -2 \), вершина параболы (2, 8) не входит в эту часть графика. Найдем значение функции при \( x = -2 \): \( y = -(-2)^2 + 4(-2) + 4 = -4 - 8 + 4 = -8 \). Точка (-2, -8) является граничной, но не входит в график для \( x < -2 \).

2. Для \( x = -2 \): \( y = 1 \)

Это точка с координатами (-2, 1).

3. Для \( x > -2 \): \( y = -x - 8 \)

Это прямая линия. Найдем значение функции при \( x = -2 \): \( y = -(-2) - 8 = 2 - 8 = -6 \). Точка (-2, -6) является началом луча.

Анализ пересечения с прямой \( y = m \)

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта линия пересекает график функции ровно в одной точке.

Рассмотрим ключевые значения \( m \), соответствующие особенностям графика:

• Максимальное значение параболы (если бы она была полностью включена) — 8.
• Значение параболы при \( x = -2 \) — -8 (не включено).
• Значение точки при \( x = -2 \) — 1 (включено).
• Начало луча прямой при \( x = -2 \) — -6 (включено).

Рассмотрим эти значения:

• \( m = 8 \): Линия \( y = 8 \) не пересекает график, так как вершина параболы (2, 8) не входит в область \( x < -2 \).
• \( m = 1 \): Линия \( y = 1 \) проходит через единственную точку (-2, 1). Также эта линия пересекает прямую \( y = -x - 8 \) при \( 1 = -x - 8 \) => \( x = -9 \). Поскольку \( -9 > -2 \) неверно, эта точка не принадлежит части графика \( y = -x - 8 \) для \( x > -2 \). Таким образом, при \( m=1 \) имеем только одну точку пересечения (-2, 1).
• \( m = -6 \): Линия \( y = -6 \) проходит через начало луча (-2, -6). Эта линия также пересекает параболу \( y = -x^2 + 4x + 4 \) при \( -x^2 + 4x + 4 = -6 \) => \( x^2 - 4x - 10 = 0 \). \( x = ±√14 + 2 \). Оба эти значения \( x \) положительны или близки к нулю, поэтому они находятся в области \( x > -2 \) и являются точками пересечения с параболой. Итак, при \( m = -6 \) имеем 1 (с прямой) + 2 (с параболой) = 3 точки пересечения.
• \( m = -8 \): Линия \( y = -8 \) не пересекает график. Точка (-2, -8) не включена в график для \( x < -2 \).
• \( m < -8 \): Линия \( y = m \) пересекает прямую \( y = -x - 8 \) при \( m = -x - 8 \) => \( x = -8 - m \). Поскольку \( m < -8 \), то \( -m > 8 \), следовательно \( x = -8 - m > 0 \). Это значение \( x > -2 \). Парабола \( y = -x^2 + 4x + 4 \) для \( x < -2 \) находится выше \( y = -8 \), поэтому пересечений нет. Следовательно, при \( m < -8 \) имеем одну точку пересечения с прямой.

Итак, ровно одна точка пересечения достигается в следующих случаях:

1. Линия \( y = m \) проходит через точку (-2, 1). Это \( m = 1 \).
2. Линия \( y = m \) находится ниже всех значений параболы для \( x < -2 \) и пересекает только прямую \( y = -x - 8 \). Минимальное значение параболы для \( x < -2 \) стремится к -8 (не достигая его). Линия \( y = m \) с \( m < -8 \) будет пересекать прямую \( y = -x - 8 \) в одной точке.

Ответ: \( m = 1 \) или \( m < -8 \).