Постройте график функции у=\frac{(x²-2x-3)(x²-3x+2)}{x²-4x+3} и определите, при каких значениях т прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: m = \(-\frac{1}{8}\) или m = 0 или m = 5

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упрощение функции

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\[ y = \frac{(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 3x + 2)}{x^2 - 4x + 3} = \frac{(x - 3)(x + 1)(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x - 1)} \]

Сократим дробь (помня про ОДЗ):

\[ y = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2, \quad x
eq 3, \quad x
eq 1 \]
• Шаг 2: Анализ точек разрыва

Найдем значения функции в точках разрыва:

При x = 3:

\[ y(3) = 3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 \]

При x = 1:

\[ y(1) = 1^2 - 1 - 2 = 1 - 1 - 2 = -2 \]
• Шаг 3: Построение графика

Графиком функции является парабола \(y = x^2 - x - 2\) с выколотыми точками (3; 4) и (1; -2).

• Шаг 4: Анализ прямой y = m

Прямая y = m — это горизонтальная прямая. Определим, при каких значениях m она имеет с графиком ровно одну общую точку.

• Прямая y = m касается параболы в вершине. Найдем вершину параболы:
\[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2} \] \[ y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1 - 2 - 8}{4} = -\frac{9}{4} = -2.25 \]

Таким образом, m = \(-\frac{9}{4}\) = -2.25.

• Прямая y = m проходит через выколотую точку (1; -2), то есть m = -2.
• Прямая y = m проходит через выколотую точку (3; 4), то есть m = 4.
• Шаг 5: Вычисление точек пересечения графика с осью ОУ

Приравняем функцию к нулю:

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решив квадратное уравнение, получим корни:

\[ x_1 = -1, \quad x_2 = 2 \]

То есть график пересекает ось ОХ в точках (-1; 0) и (2; 0).

• Шаг 6: Определение дополнительных точек касания

Чтобы прямая y = m имела с графиком ровно одну общую точку, необходимо, чтобы она касалась графика.

Производная функции:

\[ y' = 2x - 1 \]

Если прямая y = m касается графика, то производная равна 0:

\[ 2x - 1 = 0 \] \[ x = \frac{1}{2} \]

Значение функции в этой точке:

\[ y = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4} \]

Таким образом, m = \(-\frac{9}{4}\) = -2.25.

• Шаг 7: Анализ особых точек

Рассмотрим случай, когда прямая y = m проходит через точку (0; -2):

\[ y = x^2 - x - 2 \]

При x = 0, y = -2, то есть m = -2.

Рассмотрим случай, когда прямая y = m проходит через точку (5; 0):

\[ y = x^2 - x - 2 \]

Найдем точку касания:

\[ 2x - 1 = 0 \] \[ x = \frac{1}{2} \]

Подставим в уравнение функции:

\[ y = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4} \]

Таким образом, m = \(-\frac{9}{4}\) = -2.25.

• Шаг 8: Дополнительные значения m

При m = 0, прямая y = 0 пересекает график в точках (-1; 0) и (2; 0), но не является касательной.

При m = 5, необходимо проверить, является ли прямая касательной к графику.

Финальный ответ: m = \(-\frac{9}{4}\) или m = -2 или m = 4