4. Постройте график функции у = 2x³ + 3x² - 8x - 12 (2x + 3)(x+2) и определите, при каком значении параметра п пря- мая у = п НЕ имеет с графиком общих точек.

Пошаговое решение:

1. Упрощение функции: Разложим числитель на множители и упростим выражение:

   \( y = \frac{2x^3 + 3x^2 - 8x - 12}{(2x + 3)(x + 2)} \)

   Сгруппируем члены в числителе:

   \( 2x^3 + 3x^2 - 8x - 12 = x^2(2x + 3) - 4(2x + 3) = (x^2 - 4)(2x + 3) = (x - 2)(x + 2)(2x + 3) \)

   Тогда функция примет вид:

   \( y = \frac{(x - 2)(x + 2)(2x + 3)}{(2x + 3)(x + 2)} \)

   Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (с учетом ОДЗ):

   \( y = x - 2 \), при \( x ≠ -2 \) и \( x ≠ -\frac{3}{2} \)

2. Анализ упрощенной функции:
   • Функция y = x - 2 представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом 1 и сдвигом вниз на 2 единицы.
   • Однако, из-за сокращения множителей, в графике будут "выколотые" точки в местах, где знаменатель исходной функции равен нулю.
3. Нахождение "выколотых" точек:
   • При \( x = -2 \): \( y = -2 - 2 = -4 \). Таким образом, точка (-2, -4) отсутствует на графике.
   • При \( x = -\frac{3}{2} \): \( y = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{7}{2} = -3.5 \). Таким образом, точка (-1.5, -3.5) отсутствует на графике.
4. Определение значений n, при которых прямая y = n не имеет общих точек с графиком:

   Прямая y = n не будет иметь общих точек с графиком функции, если она проходит через "выколотые" точки.

   • Если n = -4, прямая y = -4 проходит через точку (-2, -4), которая отсутствует на графике.
   • Если n = -3.5, прямая y = -3.5 проходит через точку (-1.5, -3.5), которая отсутствует на графике.

Ответ: n = -4 и n = -3.5