Постройте график функции у = \frac{x-2}{(\sqrt{x^2-2x})^2} и найдите все значение k, при которых прямая у = kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Привет! Разбираемся с функцией и прямой.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упрощение функции

  Упростим выражение для функции:

  \[ y = \frac{x-2}{(\sqrt{x^2-2x})^2} = \frac{x-2}{x^2-2x} = \frac{x-2}{x(x-2)} \]

  При условии, что x ≠ 2, получим:

  \[ y = \frac{1}{x} \]
• Шаг 2: Область определения

  Найдем область определения функции. Исходная функция имеет ограничения:

  • x² - 2x > 0 (подкоренное выражение должно быть положительным)
  • x ≠ 2 (чтобы знаменатель не был равен нулю)

  Решим неравенство x² - 2x > 0:

  x(x - 2) > 0

  Это неравенство выполняется при x < 0 или x > 2.

  Итак, область определения: (-∞, 0) ∪ (2, +∞).

• Шаг 3: График функции

  График функции y = 1/x с учётом области определения будет гиперболой, у которой отсутствует участок между 0 и 2, а также точка x = 2.

• Шаг 4: Анализ прямой y = kx

  Прямая y = kx проходит через начало координат. Нам нужно найти значения k, при которых эта прямая имеет с графиком функции y = 1/x ровно одну общую точку.

  Рассмотрим уравнение:

  \[ \frac{1}{x} = kx \]

  kx² = 1

  \[ x^2 = \frac{1}{k} \]

  Чтобы уравнение имело ровно одно решение, необходимо, чтобы:

  • k > 0 (иначе решений нет)
  • x ≠ 2 (так как в этой точке функция не определена)

  Подставим x = 2 в уравнение y = 1/x:

  \[ y = \frac{1}{2} \]

  Теперь подставим x = 2 и y = 1/2 в уравнение y = kx:

  \[ \frac{1}{2} = k \cdot 2 \] \[ k = \frac{1}{4} \]

  Таким образом, при k = 1/4 прямая y = kx проходит через точку (2, 1/2), которая не принадлежит графику функции. Значит, нужно исключить это значение k.

• Шаг 5: Определение значений k

  Итак, прямая y = kx имеет с графиком функции ровно одну общую точку при k > 0 и k ≠ 1/4.

Ответ: k ≥ 0.