22. Постройте график функции у = |х²-2x-3|. Какое наибольшее число об- щих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Для решения задачи необходимо построить график функции $$y = |x^2 - 2x - 3|$$ и определить, какое наибольшее число общих точек может иметь этот график с прямой, параллельной оси абсцисс.

1. Рассмотрим функцию $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Найдем вершину параболы.

Координата x вершины параболы равна:

$$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1$$

Координата y вершины параболы равна:

$$y_v = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$

Итак, вершина параболы имеет координаты (1, -4).

2. Найдем точки пересечения параболы с осью x, то есть решим уравнение $$x^2 - 2x - 3 = 0$$.

Решим квадратное уравнение, используя формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

В нашем случае, a = 1, b = -2, c = -3.

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$

Таким образом, у нас есть два корня:

$$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Точки пересечения с осью x: (-1, 0) и (3, 0).

3. Теперь рассмотрим функцию $$y = |x^2 - 2x - 3|$$. Эта функция получается из исходной функции взятием абсолютного значения, то есть все значения y, которые были отрицательными, становятся положительными. Следовательно, часть параболы, которая находится ниже оси x, отражается симметрично относительно оси x.

Таким образом, вершина параболы, которая была в точке (1, -4), отразится в точку (1, 4).

4. График функции $$y = |x^2 - 2x - 3|$$ будет иметь вид параболы с вершиной в точке (1, 4), пересекающей ось x в точках (-1, 0) и (3, 0).

5. Определим наибольшее число общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс.

Проведем прямую $$y = c$$, где c - константа (так как прямая параллельна оси абсцисс).

Если $$c = 4$$, то прямая $$y = 4$$ проходит через вершину отраженной параболы, и имеет с графиком 3 общие точки.

Если $$0 < c < 4$$, прямая пересекает график функции в 4 точках.

При дальнейшем увеличении $$c > 4$$, количество общих точек уменьшается.

6. Таким образом, наибольшее число общих точек, которое график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4.

Ответ: 4