Постройте график функции у = 3|x+2|−x²−3x−2. Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки. При каких значениях m вершины парабол у = −x²+4mx−m и у = x²+2mx−2 расположены по одну сторону от оси х?

1. Построим график функции $$y = 3|x+2| - x^2 - 3x - 2$$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x \geq -2$$, то $$|x+2| = x+2$$, и функция принимает вид: $$y = 3(x+2) - x^2 - 3x - 2 = 3x + 6 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 + 4$$
2. Если $$x < -2$$, то $$|x+2| = -(x+2)$$, и функция принимает вид: $$y = -3(x+2) - x^2 - 3x - 2 = -3x - 6 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 - 6x - 8$$

Таким образом, функция задана кусочно:

$$y = \begin{cases} -x^2 + 4, & x \geq -2 \\ -x^2 - 6x - 8, & x < -2 \end{cases}$$

Найдем вершину каждой параболы:

1. Для $$x \geq -2$$: $$y = -x^2 + 4$$ - это парабола с вершиной в точке $$(0, 4)$$. Но рассматриваем только часть параболы при $$x \geq -2$$.
2. Для $$x < -2$$: $$y = -x^2 - 6x - 8$$. Вершина параболы $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2(-1)} = -3$$, $$y_в = -(-3)^2 - 6(-3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$$. Вершина этой параболы в точке $$(-3, 1)$$.

При $$x = -2$$:

1. Для $$x \geq -2$$: $$y = -(-2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$$
2. Для $$x < -2$$: $$y = -(-2)^2 - 6(-2) - 8 = -4 + 12 - 8 = 0$$

Точка стыка двух парабол: $$(-2, 0)$$.

Чтобы прямая $$y = m$$ имела с графиком ровно три общие точки, необходимо, чтобы прямая проходила через вершину одной из парабол, а также пересекала другую часть графика в двух точках.

В данном случае, это возможно только при $$m = 1$$.

2. Рассмотрим параболы: $$y = -x^2 + 4mx - m$$ и $$y = x^2 + 2mx - 2$$.

Найдем вершины этих парабол:

1. Для $$y = -x^2 + 4mx - m$$: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-4m}{2(-1)} = 2m$$.
2. Для $$y = x^2 + 2mx - 2$$: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-2m}{2(1)} = -m$$.

Чтобы вершины парабол находились по одну сторону от оси $$x$$, необходимо, чтобы $$x_в$$ имели одинаковый знак, то есть $$2m$$ и $$-m$$ должны быть либо оба положительные, либо оба отрицательные.

Произведение координат $$x_в$$ должно быть положительным:

$$2m \cdot (-m) > 0$$

$$-2m^2 > 0$$

$$m^2 < 0$$

Но это невозможно, так как квадрат любого числа неотрицателен. Значит, равенство может выполняться, только если $$m = 0$$. Но при $$m=0$$ координаты $$x_в = 0$$, то есть вершины находятся на оси $$y$$, что не удовлетворяет условию.

Значит, нужно, чтобы выполнялось $$2m(-m) \ge 0$$ т.е. $$-2m^2 \ge 0$$, что возможно только при $$m = 0$$. Но тогда вершины обеих парабол лежат на оси y, что не является строгой одной стороной относительно оси y.

Ответ: m = 1; m = 0