Постройте график функции у = 1/2(|x/3,5 - 3,5/x| + x/3,5 + 3,5/x) и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Давай разберем по порядку. Сначала упростим функцию:

\[ y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{3.5} - \frac{3.5}{x} \right| + \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x} \right) \]

Рассмотрим два случая:

1. Если \[ \frac{x}{3.5} - \frac{3.5}{x} \ge 0 \], то \[ y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{3.5} - \frac{3.5}{x} + \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x} \right) = \frac{x}{3.5} \]. Это выполняется при \[ x^2 \ge 3.5^2 \], то есть \[ x \ge 3.5 \] или \[ x \le -3.5 \].
2. Если \[ \frac{x}{3.5} - \frac{3.5}{x} < 0 \], то \[ y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x} + \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x} \right) = \frac{3.5}{x} \]. Это выполняется при \[ x^2 < 3.5^2 \], то есть \[ -3.5 < x < 3.5 \].

Таким образом, функция принимает вид:

\[ y = \begin{cases} \frac{x}{3.5}, & x \ge 3.5 \\ \frac{3.5}{x}, & -3.5 < x < 3.5 \\ \frac{x}{3.5}, & x \le -3.5 \end{cases} \]

Строим график этой функции. График состоит из частей гиперболы \( y = \frac{3.5}{x} \) на интервале \( (-3.5, 3.5) \) и частей прямой \( y = \frac{x}{3.5} \) при \( x \ge 3.5 \) и \( x \le -3.5 \).

Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку при \( m = 1 \) (горизонтальная прямая касается графика в точках \( x = 3.5 \) и \( x = -3.5 \)) и при \( m = 0 \) (в точке 0).

Ответ: m = 1

Ты отлично справился с задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!