Постройте график функции у = х|x| + |x| - 4х и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график функции y = x|x| + |x| - 4x:

Рассмотрим два случая:

• Если x ≥ 0, то |x| = x, и функция принимает вид: y = x * x + x - 4x = x² - 3x.
• Если x < 0, то |x| = -x, и функция принимает вид: y = x * (-x) + (-x) - 4x = -x² - 5x.

Таким образом, функция кусочно задана:

\[ y = \begin{cases} x^2 - 3x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 5x, & x < 0 \end{cases} \]

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

• Для x ≥ 0: График функции y = x² - 3x — парабола с вершиной в точке (3/2, -9/4).
• Для x < 0: График функции y = -x² - 5x — парабола с вершиной в точке (-5/2, 25/4).

Найдем значения функции в вершинах парабол:

• Вершина параболы y = x² - 3x: y(3/2) = (3/2)² - 3*(3/2) = 9/4 - 9/2 = -9/4 = -2.25.
• Вершина параболы y = -x² - 5x: y(-5/2) = -(-5/2)² - 5*(-5/2) = -25/4 + 25/2 = 25/4 = 6.25.

Теперь рассмотрим возможные значения m:

• Если m < -9/4, то прямая y = m не пересекает график.
• Если m = -9/4, то прямая y = m имеет одну общую точку с графиком.
• Если -9/4 < m < 0, то прямая y = m имеет две общие точки с графиком.
• Если m = 0, то прямая y = m имеет две общие точки с графиком.
• Если 0 < m < 25/4, то прямая y = m имеет три общие точки с графиком.
• Если m = 25/4, то прямая y = m имеет одну общую точку с графиком.
• Если m > 25/4, то прямая y = m не пересекает график.

Таким образом, прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m ∈ (-9/4; 0] или \(m = -2.25\) и \(m = 0\).

Ответ: m = -2.25; m = 0