2. Постройте график функции у = х² – 2x – 3. С помощью графика найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) наименьшее значение функции; в) при каких значениях х у <0.

Привет! Давай разберем эту задачу вместе. Построим график функции и найдем ответы на вопросы.

Решение:

Функция задана уравнением y = x² – 2x – 3. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Давай найдем вершину параболы, точки пересечения с осями координат и построим график.

1. Вершина параболы:

   Координата x вершины параболы находится по формуле: x_в = -b / 2a, где a и b - коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

   В нашем случае, a = 1 и b = -2, поэтому:

   x_в = -(-2) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1

   Теперь найдем координату y вершины параболы, подставив x_в в уравнение функции:

   y_в = (1)² – 2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -4

   Итак, вершина параболы находится в точке (1, -4).

2. Точки пересечения с осью x (нули функции):

   Чтобы найти точки пересечения с осью x, приравняем функцию к нулю и решим квадратное уравнение:

   x² – 2x – 3 = 0

   Для решения этого уравнения, воспользуемся дискриминантом (D):

   D = b² – 4ac = (-2)² – 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16

   Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня:

   x₁ = (-b + √D) / 2a = (2 + √16) / 2(1) = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3

   x₂ = (-b - √D) / 2a = (2 - √16) / 2(1) = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

   Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (-1, 0) и (3, 0).

3. Точка пересечения с осью y:

   Чтобы найти точку пересечения с осью y, подставим x = 0 в уравнение функции:

   y = (0)² – 2(0) – 3 = -3

   Парабола пересекает ось y в точке (0, -3).

Ответ: а) убывает: (-∞, 1], возрастает: [1, +∞); б) -4; в) (-1, 3)