Постройте график функции у = 3х+2x²-3x-2. Определите, при каких значениях и прямая у т имеет с графиком ровно три общие точки. При каких значениях т вершины парабол у = х²+4т.х-ти у = х²+2mx-2 расположены по одну сторону от оси х?

Решим данную задачу.

1. Построим график функции $$y = 3|x+2| - x^2 - 3x - 2$$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x \geq -2$$, то $$|x+2| = x+2$$, и функция принимает вид: $$y = 3(x+2) - x^2 - 3x - 2 = 3x + 6 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 + 4$$
2. Если $$x < -2$$, то $$|x+2| = -(x+2)$$, и функция принимает вид: $$y = -3(x+2) - x^2 - 3x - 2 = -3x - 6 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 - 6x - 8$$

Таким образом, функция задается двумя выражениями:

$$y = \begin{cases} -x^2 + 4, & x \geq -2 \\ -x^2 - 6x - 8, & x < -2 \end{cases}$$

Графиком является кусочно-заданная функция.

• При $$x \geq -2$$ это парабола $$y = -x^2 + 4$$ с вершиной в точке $$(0, 4)$$, ветви направлены вниз.
• При $$x < -2$$ это парабола $$y = -x^2 - 6x - 8$$ с вершиной в точке $$(-3, 1)$$, ветви направлены вниз.

Найдем значения функции в точке стыка $$x = -2$$:

Для $$y = -x^2 + 4$$: $$y(-2) = -(-2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$$

Для $$y = -x^2 - 6x - 8$$: $$y(-2) = -(-2)^2 - 6(-2) - 8 = -4 + 12 - 8 = 0$$

Точка стыка $$(-2, 0)$$.

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через:

• Вершину параболы при $$x < -2$$, то есть $$m = 1$$.
• Точку касания параболы при $$x \geq -2$$ и ось Ox, то есть $$m = 0$$.

2. Рассмотрим вершины парабол $$y = -x^2 + 4mx - m$$ и $$y = x^2 + 2mx - 2$$.

Найдем координаты вершин.

Для первой параболы $$y = -x^2 + 4mx - m$$:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4m}{2(-1)} = 2m$$

$$y_в = -(2m)^2 + 4m(2m) - m = -4m^2 + 8m^2 - m = 4m^2 - m$$

Координаты вершины: $$(2m, 4m^2 - m)$$.

Для второй параболы $$y = x^2 + 2mx - 2$$:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2m}{2(1)} = -m$$

$$y_в = (-m)^2 + 2m(-m) - 2 = m^2 - 2m^2 - 2 = -m^2 - 2$$

Координаты вершины: $$(-m, -m^2 - 2)$$.

Вершины парабол расположены по одну сторону от оси $$x$$, если знаки их ординат одинаковы, то есть

$$(4m^2 - m)(-m^2 - 2) > 0$$.

Так как $$(-m^2 - 2) < 0$$ при любом $$m$$, то

$$4m^2 - m < 0$$

$$m(4m - 1) < 0$$

Решим методом интервалов:

$$m \in (0, \frac{1}{4})$$.

Ответ: прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки при $$m = 0$$ и $$m = 1$$. Вершины парабол расположены по одну сторону от оси $$x$$, если $$m \in (0, \frac{1}{4})$$.