152. Постройте график функции у = 2x² + 8x + 2 и найдите, используя график: а) значения у при х = -2,3; -0,5; 1,2; б) значения х, при которых у = -4; -1; 1,7; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Построим график функции $$y = 2x^2 + 8x + 2$$. 1. Найдем вершину параболы. Координата $$x$$ вершины параболы определяется по формуле $$x_в = -\frac{b}{2a}$$, где $$a$$ и $$b$$ — коэффициенты квадратного уравнения. В данном случае, $$a = 2$$ и $$b = 8$$, следовательно, $$x_в = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$$. Координата $$y$$ вершины параболы определяется путем подстановки $$x_в$$ в уравнение функции: $$y_в = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 2 \cdot 4 - 16 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6$$. Таким образом, вершина параболы имеет координаты $$(-2, -6)$$. 2. Найдем точки пересечения графика с осью $$x$$. Для этого решим уравнение $$2x^2 + 8x + 2 = 0$$. Разделим обе части уравнения на 2, получим $$x^2 + 4x + 1 = 0$$. Найдем дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$$. Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Найдем эти корни по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$$. Таким образом, $$x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.73$$ и $$x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.27$$. 3. Найдем точку пересечения графика с осью $$y$$. Для этого подставим $$x = 0$$ в уравнение функции: $$y = 2(0)^2 + 8(0) + 2 = 2$$. Таким образом, точка пересечения с осью $$y$$ имеет координаты $$(0, 2)$$. Теперь ответим на вопросы, используя график: а) значения $$y$$ при $$x = -2.3; -0.5; 1.2$$: * При $$x = -2.3$$, $$y \approx -5.72$$; * При $$x = -0.5$$, $$y \approx -1$$; * При $$x = 1.2$$, $$y \approx 13.12$$. б) значения $$x$$, при которых $$y = -4; -1; 1.7$$: * При $$y = -4$$, $$x \approx -0.5, x \approx -3.5$$; * При $$y = -1$$, $$x \approx -0.2, x \approx -3.8$$; * При $$y = 1.7$$, $$x \approx -4.05, x \approx 0.05$$. в) нули функции и промежутки знакопостоянства: * Нули функции: $$x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.73$$ и $$x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.27$$. * Промежутки знакопостоянства: * $$y > 0$$ при $$x < -3.73$$ и $$x > -0.27$$, * $$y < 0$$ при $$-3.73 < x < -0.27$$. г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции: * Функция убывает при $$x < -2$$, * Функция возрастает при $$x > -2$$, * Наименьшее значение функции: $$y = -6$$ при $$x = -2$$. chart { "type": "line", "data": { "labels": [-5, -4.5, -4, -3.5, -3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2], "datasets": [{ "label": "y = 2x^2 + 8x + 2", "data": [52, 33.5, 18, 5.5, -4, -9.5, -6, -5.5, -4, 2, 2, 6.5, 14, 23.5, 35], "borderColor": "blue", "borderWidth": 1, "fill": false }] }, "options": { "scales": { "x": { "title": { "display": true, "text": "x" } }, "y": { "title": { "display": true, "text": "y" } } } } } Ответ: * При $$x = -2.3$$, $$y \approx -5.72$$; * При $$x = -0.5$$, $$y \approx -1$$; * При $$x = 1.2$$, $$y \approx 13.12$$. * При $$y = -4$$, $$x \approx -0.5, x \approx -3.5$$; * При $$y = -1$$, $$x \approx -0.2, x \approx -3.8$$; * При $$y = 1.7$$, $$x \approx -4.05, x \approx 0.05$$. * Нули функции: $$x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.73$$ и $$x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.27$$. * Промежутки знакопостоянства: * $$y > 0$$ при $$x < -3.73$$ и $$x > -0.27$$, * $$y < 0$$ при $$-3.73 < x < -0.27$$. * Функция убывает при $$x < -2$$, * Функция возрастает при $$x > -2$$, * Наименьшее значение функции: $$y = -6$$ при $$x = -2$$.