Решение

Заданная функция $$y = -x^2 - 4x + 5$$ является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. Для построения графика необходимо определить координаты вершины параболы, нули функции (если они есть) и несколько дополнительных точек.

1. Координаты вершины параболы:

Координаты вершины параболы ($$x_v$$, $$y_v$$) вычисляются по формулам:

$$x_v = -\frac{b}{2a}$$ $$y_v = -\frac{D}{4a}$$

где a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$. В нашем случае $$a = -1$$, $$b = -4$$, $$c = 5$$.

Вычислим $$x_v$$:

$$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2$$

Теперь вычислим $$y_v$$, подставив $$x_v = -2$$ в уравнение функции:

$$y_v = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2; 9).

2. Нули функции:

Для нахождения нулей функции решим уравнение $$y = 0$$:

$$-x^2 - 4x + 5 = 0$$

Умножим обе части уравнения на -1:

$$x^2 + 4x - 5 = 0$$

Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом для решения квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Таким образом, нули функции: x = 1 и x = -5.

3. Дополнительные точки для построения графика:

Для более точного построения графика возьмем несколько дополнительных точек. Например, x = -4 и x = 0:

При x = -4:

$$y = -(-4)^2 - 4 \cdot (-4) + 5 = -16 + 16 + 5 = 5$$

При x = 0:

$$y = -(0)^2 - 4 \cdot (0) + 5 = 0 + 0 + 5 = 5$$

Итак, мы имеем точки (-4; 5) и (0; 5).

4. Построение графика:

Теперь у нас есть достаточно данных для построения графика параболы. Отметим вершину (-2; 9), нули функции (1; 0) и (-5; 0), а также дополнительные точки (-4; 5) и (0; 5). Парабола будет направлена ветвями вниз, так как коэффициент a = -1.

5. Анализ графика:

Теперь, используя график, ответим на вопросы:

а) Область определения и область значений:

• Область определения: x ∈ $$(-\infty; +\infty)$$, так как парабола определена для всех значений x.
• Область значений: y ∈ $$(-\infty; 9]$$, так как максимальное значение функции равно 9 (вершина параболы), и ветви направлены вниз.

б) Нули функции:

• Нули функции: x = -5 и x = 1.

в) Промежутки знакопостоянства:

• Функция положительна (y > 0) на интервале $$(-5; 1)$$.
• Функция отрицательна (y < 0) на интервалах $$(-\infty; -5)$$ и $$(1; +\infty)$$.

г) Промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает на интервале $$(-\infty; -2)$$.
• Функция убывает на интервале $$(-2; +\infty)$$.

д) Наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются:

• Наибольшее значение функции: y = 9 (в точке x = -2).
• Наименьшего значения не существует, так как функция неограниченно убывает при x, стремящемся к +∞ или -∞.

Ответ:

а) Область определения: x ∈ $$(-\infty; +\infty)$$, Область значений: y ∈ $$(-\infty; 9]$$.

б) Нули функции: x = -5 и x = 1.

в) Функция положительна: $$(-5; 1)$$, Функция отрицательна: $$(-\infty; -5)$$ и $$(1; +\infty)$$.

г) Функция возрастает: $$(-\infty; -2)$$, Функция убывает: $$(-2; +\infty)$$.

д) Наибольшее значение: y = 9, Наименьшего значения: не существует.