Постройте график функции у=4 - (x- 3)/(x²-3х). Определите, при каких значениях т прямая у=m не имеет с графиком общих точек.

Ответ: y = 3 и y = 4

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упрощение функции

  Сначала упростим заданную функцию:

  \[ y = 4 - \frac{x-3}{x^2-3x} = 4 - \frac{x-3}{x(x-3)} \]

  При условии, что x ≠ 3, можно сократить дробь:

  \[ y = 4 - \frac{1}{x} \]
• Шаг 2: Анализ упрощенной функции

  Рассмотрим функцию:

  \[ y = 4 - \frac{1}{x} \]

  Эта функция имеет вертикальную асимптоту при x = 0 и горизонтальную асимптоту при y = 4.

• Шаг 3: Учет исключения x = 3

  Так как при x = 3 исходная функция не определена, нужно найти соответствующее значение y для упрощенной функции:

  \[ y(3) = 4 - \frac{1}{3} = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \]

  Таким образом, в точке x = 3 функция имеет разрыв, и y ≠ 3⅔.

• Шаг 4: Определение значений m, при которых прямая y = m не имеет общих точек с графиком

  Прямая y = m не будет иметь общих точек с графиком функции, если m равно значению горизонтальной асимптоты или значению y в точке разрыва.

  • Горизонтальная асимптота: y = 4
  • Значение в точке разрыва: y = 3⅔
• Шаг 5: Запись ответа

  Прямая y = m не имеет общих точек с графиком, когда m = 4 или m = 11/3.

Ответ: y = 3 и y = 4