15. Постройте график функции у= (x²+8x+16 при х≥-5, 5 при х <-5 - х и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком одну или две общие точки.

Построим график функции

$$ y =\begin{cases} x^2 + 8x + 16, \; x \ge -5 \\ \frac{5}{x}, \; x < -5 \end{cases} $$

Рассмотрим первый участок функции при $$x \ge -5$$.

• $$y = x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$$
• Это парабола с вершиной в точке $$\left(-4; 0\right)$$.
• Ось симметрии: $$x = -4$$.
• Ветви направлены вверх.
• Найдем значение функции при $$x = -5$$: $$y(-5) = (-5 + 4)^2 = (-1)^2 = 1$$

Рассмотрим второй участок функции при $$x < -5$$:

• $$y = \frac{5}{x}$$ - гипербола.
• При $$x \to -\infty, \; y \to 0$$
• При $$x = -5, \; y = \frac{5}{-5} = -1$$

Теперь определим, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну или две общие точки.

• Одна общая точка при $$m = 0$$ (касание параболы в вершине) и при $$m = 1$$ (пересечение с параболой в точке $$\left(-5; 1\right)$$).
• Две общие точки при $$-1 < m < 0$$ и при $$m > 1$$

Ответ: $$m=0$$, $$m=1$$, $$-1 < m < 0$$, $$m > 1$$