39. Постройте график функции у=х²-|2x+1| и определите, при каких значениях т прямая ут имеет с графиком ровно три общие точки.

Построим график функции $$y = x^2 - |2x+1|$$. Рассмотрим два случая:

1. $$2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}$$. Тогда $$|2x+1| = 2x+1$$, и функция принимает вид $$y = x^2 - (2x+1) = x^2 - 2x - 1$$. Выделим полный квадрат: $$y = (x^2 - 2x + 1) - 2 = (x-1)^2 - 2$$. Это парабола с вершиной в точке $$(1, -2)$$, ветви направлены вверх.
2. $$2x + 1 < 0 \Rightarrow x < -\frac{1}{2}$$. Тогда $$|2x+1| = -(2x+1)$$, и функция принимает вид $$y = x^2 - (-2x-1) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$$. Это парабола с вершиной в точке $$(-1, 0)$$, ветви направлены вверх.

Таким образом, график функции $$y = x^2 - |2x+1|$$ состоит из двух частей:

• При $$x \geq -\frac{1}{2}$$: $$y = (x-1)^2 - 2$$
• При $$x < -\frac{1}{2}$$: $$y = (x+1)^2$$

Найдем значения функции в точке $$x = -\frac{1}{2}$$:

• Для $$y = (x-1)^2 - 2$$: $$y = (-\frac{1}{2} - 1)^2 - 2 = (-\frac{3}{2})^2 - 2 = \frac{9}{4} - 2 = \frac{1}{4} = 0.25$$
• Для $$y = (x+1)^2$$: $$y = (-\frac{1}{2} + 1)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$$

Таким образом, обе части графика непрерывно стыкуются в точке $$x = -\frac{1}{2}$$.

Теперь построим график функции:

Прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки, когда она проходит через вершину параболы $$y=(x-1)^2 - 2$$ или касается точки соединения графиков двух парабол.

• Вершина параболы $$y=(x-1)^2 - 2$$ имеет координату по y = -2.
• Точка соединения двух парабол имеет координату по y = 0.25.

Таким образом, прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки при $$m = -2$$ и при $$m = \frac{1}{4}$$.

Ответ: $$m = -2$$ и $$m = \frac{1}{4}$$