47. Постройте график функции у=х2+3x-3x+2+2 и определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно три общие точки.

Привет! Разбираемся с функцией и поищем те самые значения m. Логика такая:

Пошаговое решение:

1. Упрощаем функцию:
   У нас есть функция \( y = x^2 + 3x - 3|x+2| + 2 \). Чтобы избавиться от модуля, рассмотрим два случая:

• Если \( x \ge -2 \), то \( |x+2| = x+2 \), и функция становится:
  \( y = x^2 + 3x - 3(x+2) + 2 = x^2 + 3x - 3x - 6 + 2 = x^2 - 4 \).
• Если \( x < -2 \), то \( |x+2| = -(x+2) \), и функция становится:
  \( y = x^2 + 3x - 3(-(x+2)) + 2 = x^2 + 3x + 3x + 6 + 2 = x^2 + 6x + 8 \).

2. Строим график:
   Теперь у нас есть две функции:

• \( y = x^2 - 4 \) для \( x \ge -2 \)
• \( y = x^2 + 6x + 8 \) для \( x < -2 \)

Графиком каждой из этих функций является парабола.

3. Анализируем пересечения:
   Нам нужно найти такие значения m, при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки. Это возможно, когда прямая проходит через вершину одной из парабол и пересекает другую параболу в двух точках.
4. Находим вершину параболы:

• Для \( y = x^2 - 4 \) вершина находится в точке \( (-2; 0) \) (так как мы рассматриваем функцию при \( x \ge -2 \))
• Для \( y = x^2 + 6x + 8 \) вершина находится в точке \( x = -\frac{6}{2} = -3 \). Подставляем \( x = -3 \) в уравнение:
  \( y = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \).
  Таким образом, вершина второй параболы находится в точке \( (-3; -1) \).

4. Определяем значения m:

• Если прямая \( y = m \) проходит через вершину второй параболы, то \( m = -1 \).
• Прямая \( y = m \) проходит через точку \( (-2; 0) \), то \( m = 0 \).

То есть, прямая должна проходить через вершину одной параболы и две точки на другой.

Ответ: m = -1 и m = 0