Постройте график функции. Укажите её наименьшее или наибольшее значение:

Решение:

Для каждой функции найдём её наибольшее или наименьшее значение, определив координаты вершины параболы.

a) \( y = x^2 + 4x + 5 \)

• Координата x вершины: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2 \).
• Значение y вершины: \( y_в = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \).
• Так как \( a = 1 > 0 \), ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение.

б) \( y = -2x^2 + 8x - 5 \)

• Координата x вершины: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2 \cdot (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2 \).
• Значение y вершины: \( y_в = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -2(4) + 16 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3 \).
• Так как \( a = -2 < 0 \), ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

в) \( y = -x^2 + 2x - 3 \)

• Координата x вершины: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1 \).
• Значение y вершины: \( y_в = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2 \).
• Так как \( a = -1 < 0 \), ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

г) \( y = 3x^2 + 6x + 1 \)

• Координата x вершины: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 \).
• Значение y вершины: \( y_в = 3(-1)^2 + 6(-1) + 1 = 3(1) - 6 + 1 = 3 - 6 + 1 = -2 \).
• Так как \( a = 3 > 0 \), ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение.

Ответ: а) наименьшее значение равно 1; б) наибольшее значение равно 3; в) наибольшее значение равно -2; г) наименьшее значение равно -2.