Постройте график функции y={\begin{cases} x^2-6x+11 \text{ при } x\geq2, \\ x+3 \text{ при } x<2. \end{cases}} Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком две общие точки.

Построим график функции $$y = \begin{cases} x^2-6x+11, \text{ если } x \ge 2 \\ x+3, \text{ если } x < 2\end{cases}$$

1. $$y = x^2-6x+11$$ - парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$$. Так как $$x_v = 3 > 2$$, то вершина параболы входит в рассматриваемый промежуток. $$y(3) = (3)^2 - 6(3) + 11 = 9 - 18 + 11 = 2$$. Итак, вершина параболы в точке $$(3; 2)$$.

2. Найдем значение функции в точке стыка $$x=2$$: $$y(2) = (2)^2 - 6(2) + 11 = 4 - 12 + 11 = 3$$. Точка $$(2; 3)$$ принадлежит графику.

3. $$y = x+3$$ - прямая, проходящая через точку $$(2; 5)$$.

Прямая $$y=m$$ будет иметь две общие точки с графиком функции при $$m \in (3; 5)$$.

Ответ: $$m \in (3; 5)$$.