Постройте график функции $$y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Прежде чем строить график, упростим функцию: $$y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 - 1}$$. При $$x^2 - 1
eq 0$$, то есть при $$x
eq \pm 1$$, функция упрощается до $$y = x^2 + 1$$. Это парабола с вершиной в точке (0, 1), но с выколотыми точками при $$x = 1$$ и $$x = -1$$. Найдем значения y в выколотых точках: При $$x = 1$$, $$y = 1^2 + 1 = 2$$. При $$x = -1$$, $$y = (-1)^2 + 1 = 2$$. Таким образом, график функции - парабола $$y = x^2 + 1$$ с выколотой точкой (1, 2) и (-1, 2). Прямая $$y = a$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, когда она касается вершины параболы или проходит через выколотую точку, но не касается параболы. Вершина параболы находится в точке (0, 1). Значит, $$a = 1$$. Выколотая точка имеет координату y = 2. Значит, $$a = 2$$. Ответ: a = 1, a = 2