Постройте график функции $$y = \frac{(x^2-2x)|x|}{x-2}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Для начала упростим функцию. Рассмотрим два случая: когда x ≥ 0 и когда x < 0.

1. Если $$x \ge 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид: $$y = \frac{(x^2 - 2x)x}{x - 2} = \frac{x^2(x - 2)}{x - 2}$$ При $$x
   e 2$$ (так как на ноль делить нельзя) можно сократить дробь: $$y = x^2$$ Таким образом, при $$x \ge 0$$ и $$x
   e 2$$, $$y = x^2$$.
2. Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид: $$y = \frac{(x^2 - 2x)(-x)}{x - 2} = \frac{-x^2(x - 2)}{x - 2}$$ При $$x
   e 2$$ можно сократить дробь: $$y = -x^2$$ Таким образом, при $$x < 0$$, $$y = -x^2$$.

Итак, мы имеем функцию, заданную кусочно:

$$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \text{ и } x
e 2 \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$$

График функции состоит из двух частей: параболы $$y = x^2$$ для $$x \ge 0$$ и параболы $$y = -x^2$$ для $$x < 0$$. При этом нужно помнить, что в точке x = 2 функция не определена (выколотая точка).

Теперь построим график функции. Для этого нам понадобится HTML-код для графика:

Прямая $$y = m$$ - это горизонтальная прямая. Она не будет иметь общих точек с графиком функции, если она проходит через выколотую точку, или если она находится ниже оси x (т.е. m < 0), так как функция не принимает отрицательные значения при x > 0.

Найдем значение функции в точке x = 2: $$y = 2^2 = 4$$. Значит, прямая $$y = 4$$ проходит через выколотую точку (2, 4) и не имеет общих точек с графиком. Также, прямая $$y = m$$ не будет иметь общих точек с графиком при $$m < 0$$.

Ответ: m < 0 и m = 4