Постройте график функции $$y = \frac{7x-5}{7x^2-5x}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для начала упростим функцию: $$y = \frac{7x-5}{7x^2-5x} = \frac{7x-5}{x(7x-5)}$$ При $$7x-5
eq 0$$, то есть $$x
eq \frac{5}{7}$$, функцию можно сократить: $$y = \frac{1}{x}$$ Таким образом, график функции $$y = \frac{7x-5}{7x^2-5x}$$ совпадает с графиком функции $$y = \frac{1}{x}$$, за исключением точки $$x = \frac{5}{7}$$, где функция не определена. На графике это будет выглядеть как "выколотая" точка. Теперь рассмотрим прямую $$y = kx$$. Нам нужно найти значения $$k$$, при которых эта прямая имеет с графиком $$y = \frac{1}{x}$$ ровно одну общую точку. Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения: $$kx = \frac{1}{x}$$ $$kx^2 = 1$$ $$x^2 = \frac{1}{k}$$ Если $$k > 0$$, то $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}$$. Значит, при $$k > 0$$ прямая $$y = kx$$ пересекает график $$y = \frac{1}{x}$$ в двух точках. Однако, нам нужно учесть "выколотую" точку $$x = \frac{5}{7}$$. Если $$x = \frac{5}{7}$$, то $$y = \frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{5}{7}} = \frac{7}{5}$$. Подставим $$x = \frac{5}{7}$$ в уравнение прямой $$y = kx$$: $$\frac{7}{5} = k \cdot \frac{5}{7}$$ $$k = \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5} = \frac{49}{25}$$ Таким образом, при $$k = \frac{49}{25}$$ прямая $$y = kx$$ проходит через "выколотую" точку $$(\frac{5}{7}, \frac{7}{5})$$. В этом случае, у прямой и графика будет только одна общая точка. Если $$k < 0$$, то $$x^2 = \frac{1}{k}$$ не имеет решений, значит, прямая $$y = kx$$ не пересекает график $$y = \frac{1}{x}$$. То есть общих точек нет. Если $$k = 0$$, то $$y = 0$$. Прямая $$y = 0$$ (ось x) не пересекает график $$y = \frac{1}{x}$$. Таким образом, прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку только при $$k = \frac{49}{25}$$. Ответ: $$k = \frac{49}{25}$$