График функции и определение значений m

Для начала построим график функции $$y = |x^2 - 4|x||$$.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 - 4x$$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершины параболы:

Абсцисса вершины параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$$

Ордината вершины параболы: $$y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -4).

Теперь рассмотрим модуль. Модуль отражает отрицательные значения функции относительно оси x. Поэтому часть графика, которая находится ниже оси x, отразится вверх.

И, наконец, еще один модуль, который стоит снаружи: $$y = ||x^2 - 4x||$$. Это означает, что график всегда будет выше оси х.

Теперь определим значения $$m$$, при которых прямая $$y = m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

По графику видно, что:

• При $$0 < m < 4$$ прямая пересекает график в четырех точках.
• При $$m = 4$$ прямая пересекает график в трех точках.

Таким образом, прямая $$y = m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек при $$m = 4$$.